# Ejemplo 3.1: Garra robótica (análisis cuasiestático)

La figura muestra el mecanismo de una [garra robótica](https://www.youtube.com/watch?v=shUN5VXV8mE), con las dimensiones en cm. Se desea una fuerza de apriete $F_g = 25$ N en cada dedo. Sin considerar la acción de la gravedad, ¿cuál debe ser la fuerza $F_a$ del actuador? Para poder diseñar la estructura de soporte de la garra, se pide además calcular la reacción en la articulación $O_2$.

<img src="./figs/ejemplo3_01_media/image_0.jpg" alt="Garra robótica" width="520px">

El dedo superior (eslabón 2) gira alrededor de $O_2$ y forma $15^\circ$ con la horizontal; la barra $AB$ (eslabón 3) forma $45^\circ$; el actuador mueve horizontalmente el bloque $B$ (eslabón 4). El mecanismo se mueve lentamente, así que el análisis es **cuasiestático**: los esfuerzos de inercia son despreciables.

:::{dropdown} Solución gráfica (equilibrio de cada eslabón)
Por simetría, basta con estudiar el dedo superior. La barra $AB$ no tiene cargas ni masa: es un **elemento de dos fuerzas**, y la fuerza $F_{AB}$ que transmite tiene la dirección de la barra, a $45^\circ$.

**Eslabón 2.** Tomando momentos respecto a $O_2$ (sentido antihorario positivo), la reacción en $O_2$ no aparece:

<img src="./figs/ejemplo3_01_media/image_1.jpeg" alt="Dedo superior" width="400px">

$$ F_{AB} \cos 45^\circ \cdot 1.5 \sin 15^\circ + F_{AB} \sin 45^\circ \cdot 1.5 \cos 15^\circ - 25 \cdot 4 \cos 15^\circ = 0 $$

de donde $F_{AB} = 74.4$ N.

**Eslabón 4.** El bloque $B$ recibe la fuerza de las dos barras (la del dedo superior y la del inferior, simétricas) y la del actuador:

<img src="./figs/ejemplo3_01_media/image_2.jpeg" alt="Bloque del actuador" width="220px">

Las componentes verticales se anulan por simetría, y las horizontales se suman:

$$ F_a = 2\, F_{AB} \cos 45^\circ = 105.15~\text{N} $$

**Reacción en $O_2$.** Se obtiene cerrando el polígono de fuerzas del eslabón 2, $\vec{F}_g + \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{12} = \vec{0}$:

<img src="./figs/ejemplo3_01_media/image_3.jpeg" alt="Polígono de fuerzas" width="320px">

$$ \vec{F}_{12} = 52.6\,\hat{i} - 77.6\,\hat{j}~\text{N} $$
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:::{dropdown} Solución analítica (sistema de ecuaciones)
El procedimiento sistemático consiste en plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos de todos los sólidos y resolverlas simultáneamente. Seguimos estudiando la mitad superior; la fuerza del actuador que le corresponde es $F_a/2$.

Vectores de posición (en cm), con $\hat{i}$ hacia la derecha y $\hat{j}$ hacia arriba:

$$
\vec{r}_{O_2A} = 1.5\,(\cos 15^\circ, \sin 15^\circ), \quad
\vec{r}_{O_2C} = -4\,(\cos 15^\circ, \sin 15^\circ), \quad
\vec{r}_{AB} = 2.5\,(\cos 45^\circ, -\sin 45^\circ)
$$

**Sólido 2.** A partir del diagrama de sólido libre:

<img src="./figs/ejemplo3_01_media/image_4.jpeg" alt="DSL sólido 2" width="320px">

$$
\begin{aligned}
\vec{F}_{32} + \vec{F}_{12} + \vec{F}_g &= \vec{0} \\
\vec{r}_{O_2A} \times \vec{F}_{32} + \vec{r}_{O_2C} \times \vec{F}_g &= \vec{0}
\end{aligned}
$$

con $\vec{F}_g = 25\,\hat{j}$ N. Todas las componentes desconocidas se escriben como positivas; el signo del resultado indicará su sentido.

**Sólido 3.**

<img src="./figs/ejemplo3_01_media/image_5.jpeg" alt="DSL sólido 3" width="220px">

$$
\begin{aligned}
\vec{F}_{43} - \vec{F}_{32} &= \vec{0} \\
\vec{r}_{AB} \times \vec{F}_{43} &= \vec{0}
\end{aligned}
$$

Se usa $\vec{F}_{23} = -\vec{F}_{32}$ para no duplicar incógnitas.

**Sólido 4** (mitad del bloque, fuerza del actuador $-F\,\hat{i}$, guía horizontal):

<img src="./figs/ejemplo3_01_media/image_6.jpeg" alt="DSL sólido 4" width="220px">

$$ F_{14y}\,\hat{j} - \vec{F}_{43} - F\,\hat{i} = \vec{0} $$

**Resolución.** Son 8 ecuaciones escalares con 8 incógnitas ($F_{12x}$, $F_{12y}$, $F_{32x}$, $F_{32y}$, $F_{43x}$, $F_{43y}$, $F_{14y}$, $F$). En MATLAB:

```matlab
syms F12x F12y F32x F32y F43x F43y F14y F real
rO2A = 1.5*[cosd(15) sind(15) 0];
rO2C = -4*[cosd(15) sind(15) 0];
rAB  = 2.5*[cosd(45) -sind(45) 0];
Fg = [0 25 0];
F12 = [F12x F12y 0]; F32 = [F32x F32y 0]; F43 = [F43x F43y 0];
eq1_2 = F32 + F12 + Fg == 0;
eq3   = cross(rO2A, F32) + cross(rO2C, Fg) == 0;
eq4_5 = F43 - F32 == 0;
eq6   = cross(rAB, F43) == 0;
eq7_8 = [0 F14y 0] - F43 - [F 0 0] == 0;
sol = solve([eq1_2(1:2), eq3(3), eq4_5(1:2), eq6(3), eq7_8(1:2)], ...
    [F12x, F12y, F32x, F32y, F43x, F43y, F14y, F]);
structfun(@double, sol)
```

Resultado: $\vec{F}_{32} = \vec{F}_{43} = -52.58\,\hat{i} + 52.58\,\hat{j}$ N (la barra trabaja a compresión con $74.4$ N), $\vec{F}_{12} = 52.58\,\hat{i} - 77.58\,\hat{j}$ N, $F = 52.58$ N, y por tanto $F_a = 2F = 105.15$ N, como en la solución gráfica. La reacción $F_{14y} = 52.58$ N de la mitad superior se anula con la de la mitad inferior, así que la guía del actuador no soporta carga.
:::