## Ejemplo 2.11: Varilla basculante con clavija en una ranura giratoria

La clavija $A$ de la varilla basculante $AO_3$ está limitada a moverse en la ranura giratoria de la varilla $O_2D$ (examen de febrero de 2016).
La velocidad angular de esta es $\omega_2 = 2~rad/s$ en sentido horario, y se mantiene constante en el instante de interés.
Para la posición mostrada en la figura (con $AO_3$ horizontal), se pide:

1. Hallar, por el método analítico, la velocidad absoluta de la clavija $A$ y su velocidad relativa a la ranura giratoria de $O_2D$.
2. Hallar la aceleración angular de $AO_3$ y la aceleración de $A$ relativa a la ranura del brazo giratorio $O_2D$.

<img src="figs/problemas_cin_an/ex2016feb_mec_enunciado.png" alt="Varilla basculante con clavija en una ranura" width="450px">

:::{dropdown} Solución

De la figura, tomando ejes con $\hat{i}$ hacia la derecha y $\hat{j}$ hacia arriba (en mm):

$$
\vec{r}_{O_3A} = 225\,\hat{i}, \qquad \vec{r}_{O_2A} = -225\,\hat{i} - 225\,\hat{j}, \qquad \vec{\omega}_2 = -2\,\hat{k}~(rad/s)
$$

**1. Velocidad absoluta de $A$ y velocidad relativa respecto a $O_2D$**

Para el punto $A_3$, perteneciente al cuerpo 3, planteamos la ecuación del sólido rígido:

$$
\vec{v}_{A_3} = (\omega_3\,\hat{k}) \times \vec{r}_{O_3A} = 225\,\omega_3\,\hat{j}~(mm/s)
$$

Por otro lado, el mismo punto $A_3$ se puede considerar como un punto con movimiento relativo respecto al cuerpo 2, con velocidad relativa $(\vec{v}_{A_3})_2$:

$$
\begin{aligned}
\vec{v}_{A_3} &= \vec{v}_{O_2} + \vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O_2A} + (\vec{v}_{A_3})_2 \\
&= (-2\,\hat{k}) \times (-225\,\hat{i} - 225\,\hat{j}) + (v_{A_3})_2 \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i} + \tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{j}\right)
\end{aligned}
$$

donde $\vec{v}_{O_2}=0$ y se ha descompuesto la velocidad relativa en un módulo desconocido, $(v_{A_3})_2$, y una dirección conocida: la de la ranura en el instante estudiado.
Se ha tomado, arbitrariamente, el vector unitario a $45^\circ$ (apuntando desde $A$ hacia $O_2$), de modo que el signo de $(v_{A_3})_2$ determinará el sentido.

Igualando ambas expresiones:

$$
225\,\omega_3\,\hat{j} = \left(-450 + \tfrac{(v_{A_3})_2}{\sqrt{2}}\right)\hat{i} + \left(450 + \tfrac{(v_{A_3})_2}{\sqrt{2}}\right)\hat{j}
$$

De la componente $\hat{i}$ se obtiene $(v_{A_3})_2$, y de la $\hat{j}$, $\omega_3$:

$$
(v_{A_3})_2 = 450\sqrt{2} = 636.4~mm/s, \qquad \omega_3 = 4~rad/s~(\circlearrowleft)
$$

El signo positivo de la velocidad relativa indica que la clavija $A$ se aproxima a $O_2$ en su movimiento relativo a la ranura, mientras que la varilla 3 gira en sentido antihorario.
La velocidad absoluta de $A$ es:

$$
\vec{v}_{A_3} = (\omega_3\,\hat{k}) \times \vec{r}_{O_3A} = 900\,\hat{j}~(mm/s)~(\uparrow)
$$

**2. Aceleración angular de $AO_3$ y aceleración relativa de $A$ sobre la ranura**

Planteamos las ecuaciones de aceleración correspondientes a las dos expresiones de velocidad anteriores. En la segunda aparece el término de **Coriolis**, al moverse $A$ respecto a un cuerpo (el 2) que gira:

$$
\begin{aligned}
\vec{a}_{A_3} &= \vec{a}_{O_3} + (\alpha_3\,\hat{k}) \times \vec{r}_{O_3A} + \vec{\omega}_3 \times (\vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{O_3A}) \\
\vec{a}_{A_3} &= \vec{a}_{O_2} + (\vec{a}_{A_3})_2 + \vec{\alpha}_2 \times \vec{r}_{O_2A} + \vec{\omega}_2 \times (\vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O_2A}) + 2\,\vec{\omega}_2 \times (\vec{v}_{A_3})_2
\end{aligned}
$$

Eliminando los términos nulos ($\vec{a}_{O_3}=\vec{a}_{O_2}=0$ y $\vec{\alpha}_2=0$, ya que $\omega_2$ es constante) y usando que $\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = -\omega^2\,\vec{r}$ cuando $\vec{\omega} \perp \vec{r}$, igualamos ambas:

$$
(\alpha_3\,\hat{k}) \times \vec{r}_{O_3A} - \omega_3^2\,\vec{r}_{O_3A}
=
(\vec{a}_{A_3})_2 - \omega_2^2\,\vec{r}_{O_2A} + 2\,\vec{\omega}_2 \times (\vec{v}_{A_3})_2
$$

que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $\alpha_3$ y el módulo $(a_{A_3})_2$ de la aceleración relativa, cuya dirección es de nuevo la de la ranura.
Evaluamos cada término:

$$
\begin{aligned}
(\alpha_3\,\hat{k}) \times \vec{r}_{O_3A} - \omega_3^2\,\vec{r}_{O_3A} &= 225\,\alpha_3\,\hat{j} - 3600\,\hat{i} \\
-\omega_2^2\,\vec{r}_{O_2A} &= 900\,\hat{i} + 900\,\hat{j} \\
2\,\vec{\omega}_2 \times (\vec{v}_{A_3})_2 &= 2\,(-2\,\hat{k}) \times (450\,\hat{i} + 450\,\hat{j}) = 1800\,\hat{i} - 1800\,\hat{j} \\
(\vec{a}_{A_3})_2 &= (a_{A_3})_2 \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i} + \tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{j}\right)
\end{aligned}
$$

Igualando componentes:

$$
\left\{
\begin{aligned}
\hat{i}:&\quad -3600 = 2700 + \tfrac{(a_{A_3})_2}{\sqrt{2}} \\
\hat{j}:&\quad 225\,\alpha_3 = -900 + \tfrac{(a_{A_3})_2}{\sqrt{2}}
\end{aligned}
\right.
\quad\rightarrow\quad
(a_{A_3})_2 = -6300\sqrt{2} = -8910~mm/s^2, \qquad \alpha_3 = -32~rad/s^2~(\circlearrowright)
$$

El signo negativo de $(a_{A_3})_2$ indica que la aceleración relativa apunta desde $O_2$ hacia $D$, es decir, en sentido contrario a la velocidad relativa: la clavija se está frenando en su movimiento hacia $O_2$ a lo largo de la ranura.
Como comprobación, la aceleración absoluta de $A$ resulta $\vec{a}_{A_3} = -3600\,\hat{i} - 7200\,\hat{j}~(mm/s^2)$ por ambos caminos.
:::