# Ejemplo 3.2: Disco accionado por un pistón

En el mecanismo de la figura, un pistón $P$, guiado horizontalmente, mueve un disco a través de una biela $PQ$. El disco gira alrededor de su centro $O$, y en el instante considerado el pasador $Q$ está en la vertical de $O$ y la biela forma $45^\circ$ con la horizontal. ¿Qué fuerza $F$ debe ejercer el pistón para que el disco tenga una aceleración angular de $1000$ rpm/s en sentido horario?

Datos: pistón y biela de masa despreciable; disco de masa $M = 1$ kg y diámetro $20$ cm; longitud de la biela $L = 40\sqrt{2}$ cm. Despreciar el rozamiento.

<img src="figs/L03_piston_disc.png" alt="Disco accionado por un pistón" width="480px">

:::{dropdown} Solución
**Cinemática.** La aceleración angular, en unidades del SI, es:

$$ \alpha = 1000~\frac{\text{rev}}{\text{min}\cdot\text{s}} \cdot \frac{2\pi~\text{rad}}{1~\text{rev}} \cdot \frac{1~\text{min}}{60~\text{s}} = 104.72~\text{rad/s}^2 \quad (\text{horario}) $$

**Esfuerzos de inercia.** Sólo el disco tiene masa. Como gira alrededor de su centro de masas, $\vec{a}_G = \vec{0}$ y **no hay fuerza de inercia**: sólo un par de inercia, opuesto a $\alpha$ (antihorario):

$$ I_G = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0.1^2 = 0.005~\text{kg·m}^2, \qquad |M_{in}| = I_G\, \alpha = 0.005 \cdot 104.72 = 0.5236~\text{N·m} $$

Observa que este resultado **no depende de la velocidad angular** del disco: el disco gira alrededor de su centro de masas, y la biela y el pistón no tienen masa.

**Biela.** Sin masa ni cargas, es un elemento de dos fuerzas: la fuerza $F_b$ que transmite tiene la dirección $PQ$, a $45^\circ$.

**Disco.** Tomando momentos respecto a $O$ (así no aparece la reacción del eje), el momento de la fuerza de la biela debe equilibrar el par de inercia. La distancia de $O$ a la recta $PQ$ es $d = R \sin 45^\circ$ (el ángulo entre $OQ$, vertical, y la biela es $45^\circ$):

$$ F_b\, R \sin 45^\circ = I_G\, \alpha \quad\rightarrow\quad F_b = \frac{0.5236}{0.1 \cdot \sin 45^\circ} = 7.405~\text{N} $$

La biela trabaja a compresión: empuja al pasador $Q$ hacia arriba y a la derecha, lo que da un momento horario respecto a $O$, como debe ser para acelerar el disco en sentido horario.

**Pistón.** Recibe la fuerza $F$, la reacción de la guía $N$ (vertical) y la fuerza de la biela (a $45^\circ$, hacia abajo y a la izquierda). Su equilibrio de fuerzas da:

$$
\begin{aligned}
\sum F_x = 0: &\quad F - F_b \cos 45^\circ = 0 \quad\rightarrow\quad F = 7.405 \cdot \cos 45^\circ = 5.24~\text{N} \\
\sum F_y = 0: &\quad N - F_b \sin 45^\circ = 0 \quad\rightarrow\quad N = 5.24~\text{N}
\end{aligned}
$$

Combinando las expresiones, $F = I_G\,\alpha / R$: con la biela a $45^\circ$ y el pasador en la vertical de $O$, la fuerza del pistón es la misma que si actuara tangencialmente sobre el borde del disco. La longitud de la biela no interviene.

**Reacción en el eje del disco.** Como el disco no tiene fuerza de inercia, $\vec{F}_{O} = -\vec{F}_b = -(5.24\,\hat{i} + 5.24\,\hat{j})$ N.
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