# Ejemplo 3.10: Puerta corredera (rodadura y deslizamiento)

Una puerta corredera de masa $m$ cuelga de dos rodillos $A$ y $B$, de radio $r_c$, que ruedan sobre un carril horizontal. El coeficiente de resistencia a la rodadura de los rodillos es $\rho$ y el coeficiente de rozamiento seco entre los rodillos y el carril es $\mu$. El centro de masas $G$ de la puerta está centrado entre los rodillos, y el tirador $P$ está a una distancia $h$ por debajo del carril, a la misma altura que $G$. Calcular la fuerza horizontal $F$ que hay que aplicar en el tirador para abrir la puerta (hacia la derecha) si:

1. Los dos rodillos funcionan correctamente y ruedan.
2. Uno de los rodillos está bloqueado y desliza en lugar de rodar.

Datos: $m = 125$ kg, $l = 1$ m, $h = 2.25$ m, $r_c = 50$ mm, $\mu = 0.2$, $\rho = 5$ mm, $g = 9.81$ m/s².

<img src="figs/L03_door.png" alt="Puerta corredera" width="400px">

(Adaptado del problema 7-17 de {cite:p}`cardona2001teoria`.)

:::{dropdown} Solución
Se supone que la puerta se mueve lentamente (sin efectos de inercia) y que el rozamiento en los ejes de los rodillos es despreciable.

**Fuerza resistente de cada rodillo.** Sobre cada rodillo el carril ejerce una fuerza normal $N$ y una fuerza tangencial $T$, opuesta al avance.

- Si el rodillo **rueda**, su eje no ejerce par sobre él, así que el momento de $T$ respecto al eje equilibra el momento de resistencia a la rodadura: $T\, r_c = \rho N$, es decir, $T = \dfrac{\rho}{r_c} N = 0.1\, N$.
- Si el rodillo está **bloqueado**, desliza sobre el carril y la fuerza de rozamiento es $T = \mu N = 0.2\, N$.

En ambos casos, $T$ actúa a la altura del carril y se transmite a la puerta a través del eje del rodillo.

**Equilibrio de la puerta.** Con $\hat{i}$ hacia la derecha, las ecuaciones son:

$$
\begin{aligned}
\sum F_x = 0: &\quad F - T_A - T_B = 0 \\
\sum F_y = 0: &\quad N_A + N_B - mg = 0 \\
\sum M_G = 0: &\quad -l\,N_A + l\,N_B + h\left( T_A + T_B \right) = 0
\end{aligned}
$$

La fuerza $F$ está a la altura de $G$ y no da momento respecto a él. Las fuerzas tangenciales, a una altura $h$ por encima, tienden a volcar la puerta, y cargan el rodillo $A$ (el trasero) y descargan el $B$:

$$ N_A - N_B = \frac{h}{l}\, F, \qquad N_A = \frac{1}{2}\left( mg + \frac{h}{l}F \right), \qquad N_B = \frac{1}{2}\left( mg - \frac{h}{l}F \right) $$

**1. Los dos rodillos ruedan.** $T_A + T_B = \frac{\rho}{r_c}(N_A + N_B) = \frac{\rho}{r_c}\, mg$, que no depende del reparto de cargas:

$$ F = \frac{\rho}{r_c}\, mg = 0.1 \cdot 125 \cdot 9.81 = 122.6~\text{N} $$

**2a. Rodillo $A$ bloqueado.** $T_A = \mu N_A$ y $T_B = \frac{\rho}{r_c} N_B$:

$$
F = \frac{\mu}{2}\left( mg + \frac{h}{l}F \right) + \frac{\rho}{2r_c}\left( mg - \frac{h}{l}F \right)
\quad\rightarrow\quad
F = \frac{\left( \mu + \frac{\rho}{r_c} \right) \frac{mg}{2}}{1 - \left( \mu - \frac{\rho}{r_c} \right)\frac{h}{2l}}
= \frac{0.3 \cdot 613.1}{1 - 0.1 \cdot 1.125} = 207.3~\text{N}
$$

**2b. Rodillo $B$ bloqueado.** $T_A = \frac{\rho}{r_c} N_A$ y $T_B = \mu N_B$:

$$
F = \frac{\left( \mu + \frac{\rho}{r_c} \right) \frac{mg}{2}}{1 + \left( \mu - \frac{\rho}{r_c} \right)\frac{h}{2l}}
= \frac{0.3 \cdot 613.1}{1 + 0.1 \cdot 1.125} = 165.3~\text{N}
$$

Es peor que se bloquee el rodillo $A$: al tirar de la puerta, la transferencia de carga lo carga a él, y es el que tiene más fuerza normal.

(Con $g = 10$ m/s², como en la fuente, se obtienen $125$, $211$ y $169$ N.)

**Comprobación de que los rodillos ruedan en el caso 1.** Un rodillo rueda sin deslizar si la fuerza tangencial necesaria cabe en el cono de rozamiento: $T = \frac{\rho}{r_c}N \le \mu N$, es decir, $\frac{\rho}{r_c} = 0.1 \le \mu = 0.2$. ✓
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