# Tema 5: Fundamentos Básicos del Equilibrado de Máquinas
## 1. Introducción: ¿Por qué equilibramos?
En el diseño de maquinaria, cualquier elemento que gira (rotor) tiene una distribución de masa que nunca es teóricamente perfecta. Las tolerancias de fabricación, los materiales no homogéneos o el desgaste provocan que el centro de gravedad no esté perfectamente alineado con el eje de giro.
Esta no homogeneidad se traduce en **masas excéntricas** (masas $m$ situadas a un radio $\vec{r}$ del eje de giro). Cuando el rotor gira a una velocidad angular $\vec{\omega}$, estas masas generan **fuerzas de inercia** centrífugas.
Como el rotor gira, estas fuerzas también giran, transmitiendo cargas cíclicas a los cojinetes y a la bancada. Esto provoca:
* **Vibraciones:** La causa principal de ruido y fallos por fatiga en la máquina y sus anclajes.
* **Desgaste Acelerado:** Destrucción de rodamientos y cojinetes.
* **Pérdida de Calidad:** En máquinas-herramienta (rectificadoras, tornos), las vibraciones impiden un acabado preciso.
El **equilibrado** es el proceso de añadir (o quitar) masas de corrección para que la resultante de todas las fuerzas y momentos de inercia sea nula, permitiendo que el rotor gire sin vibrar. Este [vídeo](https://www.youtube.com/watch?v=R2hO--TIjjA) muestra un ejemplo de este fenómeno. Por su parte, en este otro [vídeo](https://www.youtube.com/watch?v=_Kev0J1Oi0Q) se muestra cómo se puede realizar el proceso de equilibrado mediante una máquina industrial.
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## 2. El Origen Físico: Ejes y Fuerzas
El desequilibrio es una **desalineación** entre dos ejes:
1. **Eje de Rotación:** La línea geométrica definida por los centros de los cojinetes.
2. **Eje Principal de Inercia (EPI):** El eje natural de la distribución de masa del cuerpo.
Un rotor está perfectamente equilibrado solo si su Eje Principal de Inercia **coincide** con su Eje de Rotación. Cualquier desalineación genera problemas de vibración.
### Recordatorio: ¿Qué es el Eje Principal de Inercia (EPI)?
El **Eje Principal de Inercia (EPI)** es un eje de simetría másico. Si un cuerpo gira libremente en el espacio (sin cojinetes, como un asteroide), **siempre** girará de forma estable alrededor de uno de sus tres EPI.
* **¿Por qué importa?** Cuando *forzamos* a un rotor a girar sobre un eje (el de los cojinetes) que **no** es su EPI, el rotor "lucha" por querer girar sobre su EPI.
* **El Efecto:** Esta "lucha" es lo que genera **fuerzas y pares de vuelco** que intentan realinear el rotor, provocando vibraciones. El objetivo del equilibrado dinámico es, en esencia, modificar la forma del rotor (añadiendo masas) para que su EPI se alinee con el eje de rotación.
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## 3. Tipos de Desequilibrio
Según la relación geométrica entre el Eje Principal de Inercia (Inertia Axis) y el Eje de Rotación (Rotational Axis), distinguimos tres casos fundamentales. Este [vídeo](https://www.youtube.com/watch?v=IBSVTn47cPw) ilustra los conceptos de forma excelente.
### 3.1 Desequilibrio Estático (Static Unbalance)
* **Geometría:** El Eje de Inercia es **paralelo** al Eje de Rotación, pero está desplazado.
* **Efecto Físico:** El Centro de Gravedad (G) no está en el eje. Se genera una **Fuerza Centrífuga** neta (Fuerza de Sacudida), pero no hay momento de vuelco si medimos respecto al centro de gravedad.
* **Detección:** Se detecta estáticamente (por gravedad, usando cuchillas). Las dos reacciones en los cojinetes tienen la misma dirección y fase.
* **Solución:** Se corrige en **un solo plano**.
### 3.2 Desequilibrio de Par (Couple Unbalance)
* **Geometría:** El Eje de Inercia **corta** al Eje de Rotación en el Centro de Gravedad (G), pero está inclinado.
* **Efecto Físico:** El Centro de Gravedad (G) está *exactamente* en el eje de rotación (por lo que la suma de fuerzas es cero), pero la masa está distribuida asimétricamente a los lados. Esto crea un **Par de Fuerzas** puro (Par de Vuelco) que intenta girar el eje.
* **Detección:** No se detecta estáticamente (en cuchillas el rotor estaría quieto). Solo se nota al girar. Las reacciones en los cojinetes son iguales pero de sentido opuesto (desfase 180º).
* **Solución:** Requiere **dos planos** de corrección.
* *(Nota: Se llama "de Par" porque proviene del término mecánico "Par de Fuerzas" (Couple), que es un momento puro sin fuerza resultante).*
### 3.3 Desequilibrio Dinámico (Dynamic Unbalance)
* **Geometría:** Es el caso más general y común. El Eje de Inercia ni coincide ni corta al Eje de Rotación (están cruzados en el espacio).
* **Efecto Físico:** Es una **combinación** de los dos anteriores. Existe tanto una **Fuerza de Sacudida** (G desplazado) como un **Par de Vuelco** (Eje inclinado).
* **Detección:** Requiere medición dinámica. Las reacciones en los cojinetes tienen amplitudes y fases diferentes.
* **Solución:** Requiere **dos planos** de corrección.
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## 4. Formulación Matemática y Simplificación
### 4.1 La Fuerza Centrífuga (Vectorial vs. Escalar)
La fuerza de inercia (vectorial) generada por una masa $m_i$ que gira a una velocidad angular **vectorial** $\vec{\omega}$ con un vector de radio $\vec{r}_i$ es:
$\vec{F}_i = m_i \cdot \vec{a}_n = m_i \cdot (\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_i))$
Para nuestros cálculos habituales (con $\vec{\omega}$ alineada en el eje Z y $\vec{r}_i$ en el plano XY), esta fuerza es radial y su **módulo** (magnitud escalar) se calcula como:
$F_i = m_i \cdot r_i \cdot \omega^2$
*(Nota: En esta última expresión, $F_i$, $r_i$ y $\omega$ son magnitudes escalares.)*
### 4.2 La Simplificación del "Vector de Desequilibrio"
Como el objetivo es que la suma de fuerzas (vectores) sea cero ($\sum \vec{F}_i = \vec{0}$), y todos los términos contienen el escalar $\omega^2$ (asumiendo $\omega$ constante):
$\sum (m_i \cdot (\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_i))) = \vec{0}$
Si la rotación es plana ($\vec{\omega} \perp \vec{r}_i$), la expresión se simplifica. Podemos factorizar el escalar $\omega^2$ de la suma de vectores $m_i \vec{r}_i$:
$\omega^2 \sum (m_i \vec{r}_i) = \vec{0}$
Podemos simplificar dividiendo toda la ecuación por $\omega^2$. Esto nos permite trabajar con una magnitud vectorial llamada **Vector de Desequilibrio ($\vec{U}$)**:
$\vec{U}_i = m_i \cdot \vec{r}_i$
**La ecuación de equilibrio de fuerzas se reduce a:**
$\sum \vec{U}_i = \sum (m_i \cdot \vec{r}_i) = \vec{0}$
> **Nota Práctica:** En los problemas de equilibrado, trabajamos directamente con los vectores de desequilibrio $m\vec{r}$ (unidades kg·m). Esto es lo que el código MATLAB del Ejemplo 5.01 calcula. Si el sistema está equilibrado para $m\vec{r}$, lo está para cualquier velocidad $\omega$ (en rotores rígidos).
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## 5. Equilibrado en 1 Plano (Caso Estático)
Se usa para rotores "estrechos" (volantes, poleas, discos) donde se asume que todo el desequilibrio está concentrado en un único plano perpendicular al eje. Solo corrige la fuerza de sacudida (Desequilibrio Estático).
La ecuación es una simple suma vectorial de desequilibrios:
$\sum \vec{U}_i = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad (m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 + \dots) + m_c \vec{r}_c = \vec{0}$
Donde $m_c \vec{r}_c$ es el vector de desequilibrio de la masa de corrección que necesitamos añadir para cerrar el polígono de fuerzas.
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## 6. Equilibrado en 2 Planos (Caso Dinámico)
Este es el método general para cualquier rotor rígido alargado. Se necesita para corregir tanto el Desequilibrio de Par como el Desequilibrio Dinámico. Para anular ambos efectos (fuerza y momento), se necesitan masas de corrección en **dos planos diferentes** ($A$ y $B$).
Debemos cumplir dos condiciones simultáneamente:
1. **Equilibrio de Fuerzas (Vectores $\vec{U} = m\vec{r}$):**
Evita que el centro de gravedad se mueva.
$\sum \vec{U}_i = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=1}^{n} (m_i \vec{r}_i) + m_A \vec{r}_A + m_B \vec{r}_B = \vec{0}$
2. **Equilibrio de Momentos (Vectores $\vec{M}$):**
Evita que el eje cabecee. El momento de cada vector de desequilibrio respecto a un origen $O$ es $\vec{M}_i = \vec{d}_i \times \vec{U}_i$, donde $\vec{d}_i$ es el vector de posición axial.
$\sum \vec{M}_i = \vec{0} \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=1}^{n} (\vec{d}_i \times m_i \vec{r}_i) + (\vec{d}_A \times m_A \vec{r}_A) + (\vec{d}_B \times m_B \vec{r}_B) = \vec{0}$
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## 7. Metodología de Resolución Analítica
El sistema de ecuaciones vectoriales anterior se resuelve sistemáticamente (tal y como hace el script de MATLAB) siguiendo estos pasos:
1. **Elegir un Origen Inteligente:** Se toma como origen de momentos (d=0) la posición de uno de los planos de corrección desconocidos, por ejemplo, el **Plano A**.
2. **Simplificar Momentos:** Al hacer $\vec{d}_A = \vec{0}$, el momento generado por la masa de corrección A es cero. Desaparece una incógnita.
3. **Resolver para el Plano B:** La ecuación de momentos ahora solo tiene una incógnita vectorial ($m_B \vec{r}_B$), que se puede despejar directamente.
$\sum_{i=1}^{n} (\vec{d}_i \times m_i \vec{r}_i) + (\vec{d}_B \times m_B \vec{r}_B) = \vec{0}$
4. **Resolver para el Plano A:** Conociendo ya la corrección en B, volvemos a la ecuación de fuerzas. Ahora la única incógnita es A, que se despeja por simple resta vectorial.
$\sum_{i=1}^{n} (m_i \vec{r}_i) + m_A \vec{r}_A + (m_B \vec{r}_B)_{\text{conocido}} = \vec{0}$