# Ejemplo 3.6: Fuerzas de inercia en un cuadrilátero (método gráfico)
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El cuadrilátero articulado del {doc}`L03_14_example5` se mueve ahora sin carga exterior, con la manivela girando a $\omega_2 = 15$ rad/s constante, en sentido antihorario. La manivela y la biela tienen masa despreciable, y el balancín es una barra uniforme de masa $m_4 = 3$ kg, con su centro de masas $G_4$ en el punto medio de $O_4B$. En la posición $\theta_2 = 45^\circ$, calcular por métodos gráficos:
1. Los esfuerzos de inercia del balancín y su fuerza de inercia equivalente.
2. Las reacciones en las articulaciones y el par motor $M_2$ necesario.
3. El par motor total si, además, actúa la fuerza $\vec{P}$ del ejemplo 3.5.
Datos: $\overline{O_2A} = 0.20$ m, $\overline{AB} = 0.50$ m, $\overline{O_4B} = 0.35$ m, $\overline{O_2O_4} = 0.45$ m. Despreciar el peso y el rozamiento.
:::{dropdown} 1. Cinemática y esfuerzos de inercia
**Cinemática.** Del análisis de velocidades y aceleraciones (tema 2, con polígonos o analíticamente) en esta posición:
$$ \omega_3 = -2.649~\text{rad/s}, \quad \omega_4 = 5.397~\text{rad/s}, \quad \alpha_3 = 104.2~\text{rad/s}^2, \quad \alpha_4 = 154.7~\text{rad/s}^2 $$
(signo positivo, antihorario). La aceleración del centro de masas del balancín, con $\vec{r}_{O_4G_4} = \frac{1}{2}\vec{r}_{O_4B} = (0.0811, 0.1551)$ m, es:
$$ \vec{a}_{G_4} = \vec{\alpha}_4 \times \vec{r}_{O_4G_4} - \omega_4^2\, \vec{r}_{O_4G_4} = (-26.35, 8.02)~\text{m/s}^2 = 27.55~\text{m/s}^2 \angle 163.1^\circ $$
**Esfuerzos de inercia.** El momento de inercia de la barra respecto a su centro es $I_{G_4} = \frac{1}{12} m_4 L_4^2 = \frac{1}{12} \cdot 3 \cdot 0.35^2 = 0.03063$ kg·m². Entonces:
$$
\begin{aligned}
\vec{J}_4 &= -m_4\, \vec{a}_{G_4} = (79.06, -24.05)~\text{N} = 82.64~\text{N} \angle {-16.9^\circ} \\
M_{G_4} &= -I_{G_4}\, \alpha_4 = -0.03063 \cdot 154.7 = -4.738~\text{N·m} \quad (\text{horario})
\end{aligned}
$$
**Fuerza de inercia equivalente.** Sustituimos $\vec{J}_4$ y $M_{G_4}$ por una única fuerza $\vec{J}'_4 = \vec{J}_4$, desplazada paralelamente una distancia:
$$ h = \frac{|M_{G_4}|}{|\vec{J}_4|} = \frac{4.738}{82.64} = 0.0573~\text{m} = 57.3~\text{mm} $$
hacia el lado en que su momento respecto a $G_4$ es **horario**, como $M_{G_4}$. Como $\vec{J}_4$ apunta hacia la derecha y algo hacia abajo, hay que desplazarla **hacia arriba**: su recta de acción pasa por el punto $K = (0.5477, 0.2100)$ m.
:::
:::{dropdown} 2. Reacciones y par motor
Ahora el problema es idéntico al del ejemplo 3.5, con $\vec{J}'_4$ en el lugar de $\vec{P}$:
**Biela.** Sin masa ni cargas: elemento de dos fuerzas, $\vec{F}_{34}$ en la dirección $AB$.
**Balancín.** Tres fuerzas: $\vec{J}'_4$ (conocida), $\vec{F}_{34}$ (dirección $AB$) y $\vec{F}_{14}$ (por $O_4$). La recta de $\vec{J}'_4$ y la recta $AB$ se cortan en $Q = (0.4313, 0.2454)$ m, y $\vec{F}_{14}$ tiene la dirección $O_4Q$. El triángulo de fuerzas da:
$$ \vec{F}_{34} = 79.86~\text{N} \angle {-160.3^\circ}, \qquad \vec{F}_{14} = 51.16~\text{N} \angle 94.4^\circ $$
Ahora $\vec{F}_{34}$ apunta de $B$ hacia $A$: la biela tira del balancín (**tracción**).
**Manivela.** $\vec{F}_{32} = -\vec{F}_{34} = 79.86~\text{N}\angle 19.7^\circ$ en $A$, con el mismo brazo $d_2 = 0.0854$ m de antes respecto a $O_2$. Su momento es horario, así que el par motor es antihorario:
$$ M_2 = 79.86 \cdot 0.0854 = 6.82~\text{N·m} \quad (\text{antihorario}) $$
El motor debe aportar este par para acelerar el balancín en esta posición.
**Comprobación por potencias.** $M_2\,\omega_2 + \vec{J}_4\cdot\vec{v}_{G_4} + M_{G_4}\,\omega_4 = 0$, con $\vec{v}_{G_4} = \vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O_4G_4} = (-0.837, 0.438)$ m/s:
$$ M_2 = -\frac{79.06\cdot(-0.837) + (-24.05)\cdot 0.438 + (-4.738)\cdot 5.397}{15} = 6.82~\text{N·m} \;✓ $$
:::
:::{dropdown} 3. Superposición con la carga exterior
Si además actúa la fuerza $\vec{P}$ del ejemplo 3.5, el problema sigue siendo lineal (no hay rozamiento), y por el **principio de superposición** las reacciones y el par motor son la suma de los de ambos casos:
$$ M_2 = \underbrace{-7.97}_{\text{estático}} + \underbrace{6.82}_{\text{inercia}} = -1.15~\text{N·m} \quad (\text{horario}) $$
$$ \vec{F}_{34} = 93.4\angle 19.7^\circ + 79.86\angle{-160.3^\circ} = 13.5~\text{N}\angle 19.7^\circ $$
En esta posición, $\vec{P}$ actúa a favor del movimiento (por sí sola, obligaría al motor a frenar con $7.97$ N·m), pero el balancín se está acelerando ($\omega_4$ y $\alpha_4$ tienen el mismo signo) y absorbe casi toda esa potencia: el motor sólo tiene que frenar con $1.15$ N·m. Las reacciones en $O_4$ se suman vectorialmente del mismo modo: $\vec{F}_{14} = (12.10, -31.52) + (-3.89, 51.01) = (8.21, 19.49)$ N.
Este es el **análisis cinetoestático completo**: estático (cargas) + dinámico (inercias).
:::
## Construcción interactiva
Recorre la construcción paso a paso y arrastra la manivela para ver cómo cambian la fuerza de inercia, su desplazamiento $h$, las reacciones y el par motor a lo largo de una vuelta:
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:::{dropdown} 1. Cinemática y esfuerzos de inercia
**Cinemática.** Del análisis de velocidades y aceleraciones (tema 2, con polígonos o analíticamente) en esta posición:
$$ \omega_3 = -2.649~\text{rad/s}, \quad \omega_4 = 5.397~\text{rad/s}, \quad \alpha_3 = 104.2~\text{rad/s}^2, \quad \alpha_4 = 154.7~\text{rad/s}^2 $$
(signo positivo, antihorario). La aceleración del centro de masas del balancín, con $\vec{r}_{O_4G_4} = \frac{1}{2}\vec{r}_{O_4B} = (0.0811, 0.1551)$ m, es:
$$ \vec{a}_{G_4} = \vec{\alpha}_4 \times \vec{r}_{O_4G_4} - \omega_4^2\, \vec{r}_{O_4G_4} = (-26.35, 8.02)~\text{m/s}^2 = 27.55~\text{m/s}^2 \angle 163.1^\circ $$
**Esfuerzos de inercia.** El momento de inercia de la barra respecto a su centro es $I_{G_4} = \frac{1}{12} m_4 L_4^2 = \frac{1}{12} \cdot 3 \cdot 0.35^2 = 0.03063$ kg·m². Entonces:
$$
\begin{aligned}
\vec{J}_4 &= -m_4\, \vec{a}_{G_4} = (79.06, -24.05)~\text{N} = 82.64~\text{N} \angle {-16.9^\circ} \\
M_{G_4} &= -I_{G_4}\, \alpha_4 = -0.03063 \cdot 154.7 = -4.738~\text{N·m} \quad (\text{horario})
\end{aligned}
$$
**Fuerza de inercia equivalente.** Sustituimos $\vec{J}_4$ y $M_{G_4}$ por una única fuerza $\vec{J}'_4 = \vec{J}_4$, desplazada paralelamente una distancia:
$$ h = \frac{|M_{G_4}|}{|\vec{J}_4|} = \frac{4.738}{82.64} = 0.0573~\text{m} = 57.3~\text{mm} $$
hacia el lado en que su momento respecto a $G_4$ es **horario**, como $M_{G_4}$. Como $\vec{J}_4$ apunta hacia la derecha y algo hacia abajo, hay que desplazarla **hacia arriba**: su recta de acción pasa por el punto $K = (0.5477, 0.2100)$ m.
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:::{dropdown} 2. Reacciones y par motor
Ahora el problema es idéntico al del ejemplo 3.5, con $\vec{J}'_4$ en el lugar de $\vec{P}$:
**Biela.** Sin masa ni cargas: elemento de dos fuerzas, $\vec{F}_{34}$ en la dirección $AB$.
**Balancín.** Tres fuerzas: $\vec{J}'_4$ (conocida), $\vec{F}_{34}$ (dirección $AB$) y $\vec{F}_{14}$ (por $O_4$). La recta de $\vec{J}'_4$ y la recta $AB$ se cortan en $Q = (0.4313, 0.2454)$ m, y $\vec{F}_{14}$ tiene la dirección $O_4Q$. El triángulo de fuerzas da:
$$ \vec{F}_{34} = 79.86~\text{N} \angle {-160.3^\circ}, \qquad \vec{F}_{14} = 51.16~\text{N} \angle 94.4^\circ $$
Ahora $\vec{F}_{34}$ apunta de $B$ hacia $A$: la biela tira del balancín (**tracción**).
**Manivela.** $\vec{F}_{32} = -\vec{F}_{34} = 79.86~\text{N}\angle 19.7^\circ$ en $A$, con el mismo brazo $d_2 = 0.0854$ m de antes respecto a $O_2$. Su momento es horario, así que el par motor es antihorario:
$$ M_2 = 79.86 \cdot 0.0854 = 6.82~\text{N·m} \quad (\text{antihorario}) $$
El motor debe aportar este par para acelerar el balancín en esta posición.
**Comprobación por potencias.** $M_2\,\omega_2 + \vec{J}_4\cdot\vec{v}_{G_4} + M_{G_4}\,\omega_4 = 0$, con $\vec{v}_{G_4} = \vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O_4G_4} = (-0.837, 0.438)$ m/s:
$$ M_2 = -\frac{79.06\cdot(-0.837) + (-24.05)\cdot 0.438 + (-4.738)\cdot 5.397}{15} = 6.82~\text{N·m} \;✓ $$
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:::{dropdown} 3. Superposición con la carga exterior
Si además actúa la fuerza $\vec{P}$ del ejemplo 3.5, el problema sigue siendo lineal (no hay rozamiento), y por el **principio de superposición** las reacciones y el par motor son la suma de los de ambos casos:
$$ M_2 = \underbrace{-7.97}_{\text{estático}} + \underbrace{6.82}_{\text{inercia}} = -1.15~\text{N·m} \quad (\text{horario}) $$
$$ \vec{F}_{34} = 93.4\angle 19.7^\circ + 79.86\angle{-160.3^\circ} = 13.5~\text{N}\angle 19.7^\circ $$
En esta posición, $\vec{P}$ actúa a favor del movimiento (por sí sola, obligaría al motor a frenar con $7.97$ N·m), pero el balancín se está acelerando ($\omega_4$ y $\alpha_4$ tienen el mismo signo) y absorbe casi toda esa potencia: el motor sólo tiene que frenar con $1.15$ N·m. Las reacciones en $O_4$ se suman vectorialmente del mismo modo: $\vec{F}_{14} = (12.10, -31.52) + (-3.89, 51.01) = (8.21, 19.49)$ N.
Este es el **análisis cinetoestático completo**: estático (cargas) + dinámico (inercias).
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## Construcción interactiva
Recorre la construcción paso a paso y arrastra la manivela para ver cómo cambian la fuerza de inercia, su desplazamiento $h$, las reacciones y el par motor a lo largo de una vuelta:
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