# Métodos gráficos
Los métodos gráficos resuelven el equilibrio de cada eslabón dibujando las fuerzas a escala. Son menos precisos y más laboriosos que el método analítico cuando el mecanismo tiene muchos eslabones con masa, pero dan una **visión física** muy clara de cómo se transmiten las fuerzas, y son muy rápidos cuando la mayoría de los eslabones tienen masa despreciable.
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## Transmisión de fuerzas en los pares
En los mecanismos planos articulados sólo aparecen pares de rotación y prismáticos:
- En un **par de rotación** sin rozamiento, la reacción pasa por el centro de la articulación, pero su dirección y módulo dependen de las fuerzas que actúan sobre los eslabones: no se conocen hasta resolver el equilibrio (2 incógnitas).
- En un **par prismático** sin rozamiento, la reacción es **perpendicular a la guía** (se conoce su dirección; 1 incógnita si se conoce su punto de aplicación).
## Equilibrio estático de un eslabón
Para cada eslabón, $\sum\vec{F} = \vec{0}$ y $\sum M = 0$, con el momento de una fuerza respecto a un punto $O$ igual a su módulo por la distancia de $O$ a su línea de acción. Gráficamente, $\sum\vec{F} = \vec{0}$ significa que **las fuerzas, dibujadas una a continuación de otra, forman un polígono cerrado** (polígono de fuerzas). Con un polígono se pueden calcular **dos incógnitas** (por ejemplo, los módulos de dos fuerzas de dirección conocida, o el módulo y la dirección de una sola fuerza).
Dos casos particulares resuelven casi todos los problemas:
:::{card} Elemento de dos fuerzas
Si sobre un eslabón **sólo actúan dos fuerzas** (por ejemplo, las reacciones en sus dos articulaciones, sin cargas, sin masa y sin rozamiento), ambas deben tener **la misma línea de acción** (la recta que une sus puntos de aplicación), el mismo módulo y sentidos opuestos:
$$ \sum\vec{F} = \vec{0} \rightarrow \vec{F}_{23} + \vec{F}_{43} = \vec{0}; \qquad \sum M = 0 \rightarrow \text{alineadas con el eslabón} $$
Una biela sin masa es el ejemplo típico: trabaja a tracción o a compresión.
:::
:::{card} Elemento de tres fuerzas
Si sobre un eslabón actúan **tres fuerzas**, sus líneas de acción deben **cortarse en un mismo punto** (ser concurrentes), o ser paralelas; si no, la resultante de dos de ellas formaría un par con la tercera. Además, deben formar un triángulo cerrado:
$$ \sum\vec{F} = \vec{0} \rightarrow \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}\ \text{(triángulo)}; \qquad \sum M = 0 \rightarrow \text{concurrentes} $$
:::
La estrategia es empezar por los eslabones de dos fuerzas, que dan direcciones de reacciones, y seguir por los de tres fuerzas, cuyo punto de concurrencia da la dirección de la tercera.
## Análisis estático del cuadrilátero articulado
**Datos:** geometría, posición y una fuerza exterior $\vec{P}_4$ sobre el balancín 4. **Incógnitas:** reacciones en las cuatro articulaciones y par $M_2$ que hay que aplicar a la manivela para el equilibrio.
1. **Eslabón 3 (biela):** sólo recibe fuerzas en $A$ y en $B$, así que es de dos fuerzas: $\vec{F}_{34}$ tiene la dirección $AB$.
2. **Eslabón 4:** soporta tres fuerzas: $\vec{P}_4$ (conocida), $\vec{F}_{34}$ (dirección $AB$) y $\vec{F}_{14}$ (pasa por $O_4$). Las tres se cortan en el punto $Q$ de intersección de las rectas de $\vec{P}_4$ y $AB$, así que $\vec{F}_{14}$ tiene la dirección $O_4Q$. El triángulo de fuerzas $\vec{P}_4 + \vec{F}_{34} + \vec{F}_{14} = \vec{0}$ da sus módulos.
3. **Eslabón 2:** recibe $\vec{F}_{32} = -\vec{F}_{23} = \vec{F}_{43} = -\vec{F}_{34}$ en $A$ y $\vec{F}_{12}$ en $O_2$. Para que haya equilibrio de fuerzas, $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{32}$; estas dos fuerzas paralelas forman un par, de valor $|\vec{F}_{32}|\cdot d_2$ ($d_2$, distancia de $O_2$ a la recta $AB$), que equilibra el par $M_2$.
4. **Bancada:** recibe $\vec{F}_{21}$ y $\vec{F}_{41}$, cuya suma es igual a $\vec{P}_4$, y un **par de vuelco** que deben absorber sus anclajes.
El ejemplo {doc}`L03_14_example5` desarrolla este caso con números.
## Análisis estático del mecanismo biela-manivela
**Datos:** dimensiones, posición y fuerza $\vec{F}_4$ sobre el pistón (por ejemplo, la de los gases). **Incógnitas:** reacciones en cada par y par $M_2$ que puede vencer el cigüeñal.
1. **Eslabón 3 (biela):** elemento de dos fuerzas, $\vec{F}_{43} = -\vec{F}_{23}$, ambas con dirección $AB$.
2. **Eslabón 4 (pistón):** $\vec{F}_{14} + \vec{F}_{34} + \vec{F}_4 = \vec{0}$, con $\vec{F}_{14}$ perpendicular a la guía y $\vec{F}_{34}$ paralela a $AB$: un triángulo de fuerzas da ambos módulos. (La ecuación de momentos se cumple para cualquier valor si todas las fuerzas pasan por $B$.)
3. **Eslabón 2 (manivela):** $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{32}$ y $M_2 = |\vec{F}_{32}|\cdot d_2$.
4. **Bancada:** las reacciones $\vec{F}_{41}$ y $\vec{F}_{21}$, junto con la reacción de los gases sobre la culata ($-\vec{F}_4$), generan un par de vuelco, de valor $|\vec{F}_{41}|\cdot \overline{O_2B}$.
## Esfuerzos de inercia por métodos gráficos
Con el principio de D'Alembert, el análisis dinámico se resuelve igual que el estático, añadiendo a cada eslabón su fuerza de inercia. Para que cada eslabón tenga «una fuerza más», se sustituye la fuerza y el par de inercia por la **fuerza de inercia equivalente** $\vec{J}'_i$, desplazada $h_i = I_{G_i}|\alpha_i| / (m_i|\vec{a}_{G_i}|)$ (ver {doc}`L03_05_dalembert`).
El procedimiento es:
1. Obtener las fuerzas y pares de inercia de cada eslabón: $\vec{J}_i = -m_i\vec{a}_{G_i}$, $M_{G_i} = -I_{G_i}\alpha_i$. Las aceleraciones se toman del polígono de aceleraciones.
2. Obtener la fuerza de inercia equivalente de cada eslabón: $\vec{J}'_i = \vec{J}_i$ desplazada $h_i$.
3. Resolver el equilibrio de cada eslabón como en el caso estático. Sobre el eslabón de entrada aparece un par no equilibrado por los demás eslabones, el **par acelerador**, que debe aportar el motor.
### Caso sencillo: un solo eslabón con masa
Si sólo un eslabón tiene masa (o sólo uno tiene una masa significativa), los demás siguen siendo elementos de dos fuerzas y el problema es idéntico al estático, con $\vec{J}'$ en lugar de la carga exterior. La construcción siguiente lo muestra paso a paso para un cuadrilátero en el que sólo el balancín tiene masa ({doc}`L03_15_example6`). Puedes arrastrar la manivela para ver cómo cambia la solución con la posición:
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### Caso general: todos los eslabones con masa
Si la biela también tiene masa, deja de ser un elemento de dos fuerzas y ningún eslabón tiene sólo tres fuerzas. En el cuadrilátero articulado se procede así:
1. **Eslabón 4:** $\vec{F}_{14} + \vec{F}_{34} + \vec{J}'_4 = \vec{0}$. Se descompone $\vec{F}_{34}$ (y $\vec{J}'_4$) en una componente perpendicular al eslabón y otra en su dirección, $\vec{F}_{34} = \vec{F}^{\perp}_{34} + \vec{F}^{\parallel}_{34}$. Tomando momentos respecto a $O_4$, la componente paralela no da momento, y:
$$ F^{\perp}_{34}\cdot \overline{O_4B} = J'^{\perp}_4 \cdot \overline{O_4G'_4} \quad\rightarrow\quad F^{\perp}_{34} = \frac{\overline{O_4G'_4}}{\overline{O_4B}}\, J'^{\perp}_4 $$
donde $G'_4$ es el punto en que la línea de acción de $\vec{J}'_4$ corta al eslabón.
2. **Eslabón 3:** del mismo modo, tomando momentos respecto a $A$:
$$ F^{\perp}_{43}\cdot \overline{AB} = J'^{\perp}_3 \cdot \overline{AG'_3} \quad\rightarrow\quad F^{\perp}_{43} = \frac{\overline{AG'_3}}{\overline{AB}}\, J'^{\perp}_3 $$
3. **Unión en $B$:** como $\vec{F}_{43} = -\vec{F}_{34}$, se conocen las dos componentes perpendiculares en $B$ y las direcciones de las dos paralelas (cada una según su eslabón). Un polígono con $\vec{F}^{\perp}_{43} + \vec{F}^{\parallel}_{43} = -(\vec{F}^{\perp}_{34} + \vec{F}^{\parallel}_{34})$ da los módulos de las componentes paralelas y, con ellas, $\vec{F}_{34}$ completa.
4. **Cierre:** el polígono $\vec{F}_{14} + \vec{F}_{34} + \vec{J}'_4 = \vec{0}$ da $\vec{F}_{14}$, y el polígono $\vec{F}_{23} + \vec{F}_{43} + \vec{J}'_3 = \vec{0}$ da $\vec{F}_{23}$.
5. **Eslabón 2:** $\vec{F}_{12} + \vec{F}_{32} + \vec{J}'_2 = \vec{0}$ y, tomando momentos respecto a $O_2$, el par acelerador $M_2 = |\vec{F}_{32}|\, d_{32} + |\vec{J}'_2|\, d_2$ (con los signos de cada momento).
En el mecanismo biela-manivela, el pistón se traslada ($\alpha_4 = 0$) y su fuerza de inercia $\vec{J}_4 = -m_4\vec{a}_B$ pasa por $B$; se descompone la reacción en $A$ sobre la biela en componentes perpendicular y paralela a $AB$, y se toman momentos respecto a $B$.
Alternativamente, se puede aplicar el **principio de superposición**: resolver el mecanismo con la inercia de un solo eslabón cada vez (con los demás eslabones como elementos de dos fuerzas) y sumar. El ejemplo completo del mecanismo de seis barras ({doc}`L03_16_example7`) se resuelve por métodos gráficos analizando los eslabones en el orden adecuado.
### Biela-manivela con sólo la corredera con masa
Otro caso muy habitual: manivela y biela de masa despreciable y una corredera de masa $M$ ({doc}`L03_13_example4`). La corredera se traslada, así que sólo tiene fuerza de inercia; la biela es de dos fuerzas y la corredera, de tres:
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## Análisis cinetoestático completo
Por el **principio de superposición**, las fuerzas totales sobre cada eslabón son la suma de las del análisis estático (cargas exteriores) y las del análisis dinámico (esfuerzos de inercia). En un motor alternativo, por ejemplo:
- La biela trabaja a tracción o compresión por la suma de la fuerza de los gases y de las inercias.
- La manivela recibe un par: el **par motor efectivo** es la diferencia entre el par que producen los gases (análisis estático) y el par acelerador necesario para mover las masas (análisis dinámico). Según la posición, la inercia hace que el par efectivo sea mayor o menor que el producido por los gases.
- La bancada sufre un **par de vuelco** y una fuerza resultante que deben absorber los anclajes del motor.
:::{card} Elemento de dos fuerzas
Si sobre un eslabón **sólo actúan dos fuerzas** (por ejemplo, las reacciones en sus dos articulaciones, sin cargas, sin masa y sin rozamiento), ambas deben tener **la misma línea de acción** (la recta que une sus puntos de aplicación), el mismo módulo y sentidos opuestos:
$$ \sum\vec{F} = \vec{0} \rightarrow \vec{F}_{23} + \vec{F}_{43} = \vec{0}; \qquad \sum M = 0 \rightarrow \text{alineadas con el eslabón} $$
Una biela sin masa es el ejemplo típico: trabaja a tracción o a compresión.
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:::{card} Elemento de tres fuerzas
Si sobre un eslabón actúan **tres fuerzas**, sus líneas de acción deben **cortarse en un mismo punto** (ser concurrentes), o ser paralelas; si no, la resultante de dos de ellas formaría un par con la tercera. Además, deben formar un triángulo cerrado:
$$ \sum\vec{F} = \vec{0} \rightarrow \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}\ \text{(triángulo)}; \qquad \sum M = 0 \rightarrow \text{concurrentes} $$
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La estrategia es empezar por los eslabones de dos fuerzas, que dan direcciones de reacciones, y seguir por los de tres fuerzas, cuyo punto de concurrencia da la dirección de la tercera.
## Análisis estático del cuadrilátero articulado
**Datos:** geometría, posición y una fuerza exterior $\vec{P}_4$ sobre el balancín 4. **Incógnitas:** reacciones en las cuatro articulaciones y par $M_2$ que hay que aplicar a la manivela para el equilibrio.
1. **Eslabón 3 (biela):** sólo recibe fuerzas en $A$ y en $B$, así que es de dos fuerzas: $\vec{F}_{34}$ tiene la dirección $AB$.
2. **Eslabón 4:** soporta tres fuerzas: $\vec{P}_4$ (conocida), $\vec{F}_{34}$ (dirección $AB$) y $\vec{F}_{14}$ (pasa por $O_4$). Las tres se cortan en el punto $Q$ de intersección de las rectas de $\vec{P}_4$ y $AB$, así que $\vec{F}_{14}$ tiene la dirección $O_4Q$. El triángulo de fuerzas $\vec{P}_4 + \vec{F}_{34} + \vec{F}_{14} = \vec{0}$ da sus módulos.
3. **Eslabón 2:** recibe $\vec{F}_{32} = -\vec{F}_{23} = \vec{F}_{43} = -\vec{F}_{34}$ en $A$ y $\vec{F}_{12}$ en $O_2$. Para que haya equilibrio de fuerzas, $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{32}$; estas dos fuerzas paralelas forman un par, de valor $|\vec{F}_{32}|\cdot d_2$ ($d_2$, distancia de $O_2$ a la recta $AB$), que equilibra el par $M_2$.
4. **Bancada:** recibe $\vec{F}_{21}$ y $\vec{F}_{41}$, cuya suma es igual a $\vec{P}_4$, y un **par de vuelco** que deben absorber sus anclajes.
El ejemplo {doc}`L03_14_example5` desarrolla este caso con números.
## Análisis estático del mecanismo biela-manivela
**Datos:** dimensiones, posición y fuerza $\vec{F}_4$ sobre el pistón (por ejemplo, la de los gases). **Incógnitas:** reacciones en cada par y par $M_2$ que puede vencer el cigüeñal.
1. **Eslabón 3 (biela):** elemento de dos fuerzas, $\vec{F}_{43} = -\vec{F}_{23}$, ambas con dirección $AB$.
2. **Eslabón 4 (pistón):** $\vec{F}_{14} + \vec{F}_{34} + \vec{F}_4 = \vec{0}$, con $\vec{F}_{14}$ perpendicular a la guía y $\vec{F}_{34}$ paralela a $AB$: un triángulo de fuerzas da ambos módulos. (La ecuación de momentos se cumple para cualquier valor si todas las fuerzas pasan por $B$.)
3. **Eslabón 2 (manivela):** $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{32}$ y $M_2 = |\vec{F}_{32}|\cdot d_2$.
4. **Bancada:** las reacciones $\vec{F}_{41}$ y $\vec{F}_{21}$, junto con la reacción de los gases sobre la culata ($-\vec{F}_4$), generan un par de vuelco, de valor $|\vec{F}_{41}|\cdot \overline{O_2B}$.
## Esfuerzos de inercia por métodos gráficos
Con el principio de D'Alembert, el análisis dinámico se resuelve igual que el estático, añadiendo a cada eslabón su fuerza de inercia. Para que cada eslabón tenga «una fuerza más», se sustituye la fuerza y el par de inercia por la **fuerza de inercia equivalente** $\vec{J}'_i$, desplazada $h_i = I_{G_i}|\alpha_i| / (m_i|\vec{a}_{G_i}|)$ (ver {doc}`L03_05_dalembert`).
El procedimiento es:
1. Obtener las fuerzas y pares de inercia de cada eslabón: $\vec{J}_i = -m_i\vec{a}_{G_i}$, $M_{G_i} = -I_{G_i}\alpha_i$. Las aceleraciones se toman del polígono de aceleraciones.
2. Obtener la fuerza de inercia equivalente de cada eslabón: $\vec{J}'_i = \vec{J}_i$ desplazada $h_i$.
3. Resolver el equilibrio de cada eslabón como en el caso estático. Sobre el eslabón de entrada aparece un par no equilibrado por los demás eslabones, el **par acelerador**, que debe aportar el motor.
### Caso sencillo: un solo eslabón con masa
Si sólo un eslabón tiene masa (o sólo uno tiene una masa significativa), los demás siguen siendo elementos de dos fuerzas y el problema es idéntico al estático, con $\vec{J}'$ en lugar de la carga exterior. La construcción siguiente lo muestra paso a paso para un cuadrilátero en el que sólo el balancín tiene masa ({doc}`L03_15_example6`). Puedes arrastrar la manivela para ver cómo cambia la solución con la posición:
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### Caso general: todos los eslabones con masa
Si la biela también tiene masa, deja de ser un elemento de dos fuerzas y ningún eslabón tiene sólo tres fuerzas. En el cuadrilátero articulado se procede así:
1. **Eslabón 4:** $\vec{F}_{14} + \vec{F}_{34} + \vec{J}'_4 = \vec{0}$. Se descompone $\vec{F}_{34}$ (y $\vec{J}'_4$) en una componente perpendicular al eslabón y otra en su dirección, $\vec{F}_{34} = \vec{F}^{\perp}_{34} + \vec{F}^{\parallel}_{34}$. Tomando momentos respecto a $O_4$, la componente paralela no da momento, y:
$$ F^{\perp}_{34}\cdot \overline{O_4B} = J'^{\perp}_4 \cdot \overline{O_4G'_4} \quad\rightarrow\quad F^{\perp}_{34} = \frac{\overline{O_4G'_4}}{\overline{O_4B}}\, J'^{\perp}_4 $$
donde $G'_4$ es el punto en que la línea de acción de $\vec{J}'_4$ corta al eslabón.
2. **Eslabón 3:** del mismo modo, tomando momentos respecto a $A$:
$$ F^{\perp}_{43}\cdot \overline{AB} = J'^{\perp}_3 \cdot \overline{AG'_3} \quad\rightarrow\quad F^{\perp}_{43} = \frac{\overline{AG'_3}}{\overline{AB}}\, J'^{\perp}_3 $$
3. **Unión en $B$:** como $\vec{F}_{43} = -\vec{F}_{34}$, se conocen las dos componentes perpendiculares en $B$ y las direcciones de las dos paralelas (cada una según su eslabón). Un polígono con $\vec{F}^{\perp}_{43} + \vec{F}^{\parallel}_{43} = -(\vec{F}^{\perp}_{34} + \vec{F}^{\parallel}_{34})$ da los módulos de las componentes paralelas y, con ellas, $\vec{F}_{34}$ completa.
4. **Cierre:** el polígono $\vec{F}_{14} + \vec{F}_{34} + \vec{J}'_4 = \vec{0}$ da $\vec{F}_{14}$, y el polígono $\vec{F}_{23} + \vec{F}_{43} + \vec{J}'_3 = \vec{0}$ da $\vec{F}_{23}$.
5. **Eslabón 2:** $\vec{F}_{12} + \vec{F}_{32} + \vec{J}'_2 = \vec{0}$ y, tomando momentos respecto a $O_2$, el par acelerador $M_2 = |\vec{F}_{32}|\, d_{32} + |\vec{J}'_2|\, d_2$ (con los signos de cada momento).
En el mecanismo biela-manivela, el pistón se traslada ($\alpha_4 = 0$) y su fuerza de inercia $\vec{J}_4 = -m_4\vec{a}_B$ pasa por $B$; se descompone la reacción en $A$ sobre la biela en componentes perpendicular y paralela a $AB$, y se toman momentos respecto a $B$.
Alternativamente, se puede aplicar el **principio de superposición**: resolver el mecanismo con la inercia de un solo eslabón cada vez (con los demás eslabones como elementos de dos fuerzas) y sumar. El ejemplo completo del mecanismo de seis barras ({doc}`L03_16_example7`) se resuelve por métodos gráficos analizando los eslabones en el orden adecuado.
### Biela-manivela con sólo la corredera con masa
Otro caso muy habitual: manivela y biela de masa despreciable y una corredera de masa $M$ ({doc}`L03_13_example4`). La corredera se traslada, así que sólo tiene fuerza de inercia; la biela es de dos fuerzas y la corredera, de tres:
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## Análisis cinetoestático completo
Por el **principio de superposición**, las fuerzas totales sobre cada eslabón son la suma de las del análisis estático (cargas exteriores) y las del análisis dinámico (esfuerzos de inercia). En un motor alternativo, por ejemplo:
- La biela trabaja a tracción o compresión por la suma de la fuerza de los gases y de las inercias.
- La manivela recibe un par: el **par motor efectivo** es la diferencia entre el par que producen los gases (análisis estático) y el par acelerador necesario para mover las masas (análisis dinámico). Según la posición, la inercia hace que el par efectivo sea mayor o menor que el producido por los gases.
- La bancada sufre un **par de vuelco** y una fuerza resultante que deben absorber los anclajes del motor.