# Cálculo de inercias en 2D Incluso en los problemas planos más sencillos necesitamos el momento de inercia $I_{z,G}$ de cada eslabón. En esta página vemos cómo calcularlo para los eslabones más habituales de un mecanismo. ## Definición :::{card} Momento de inercia de un cuerpo plano El momento de inercia de un cuerpo plano alrededor del eje $z$ que pasa por un punto $P$ es: $$ I_{z,P} = \int_{\text{área}} \left( x'^2 + y'^2 \right) dm = \int_{\text{área}} r'^2\, dm $$ donde $(x', y')$ son las coordenadas de cada elemento $dm$ relativas a $P$, y $r'$ su distancia al eje. ::: Definición del momento de inercia Mide **cuánta masa está lejos del eje**: cuanto mayor es, más par hace falta para cambiar el estado de giro del sólido. Sus unidades son kg·m². Normalmente el punto de referencia será el **centro de masas** $G$ (en los métodos numéricos no siempre es así). Esta fórmula **siempre funciona**, pero su cálculo es laborioso. En la práctica se memorizan unos pocos casos comunes y se combinan con las herramientas siguientes. ### ¿Qué es el diferencial de masa $dm$? - **Eslabón plano (2D):** $dm = \rho(x', y')\, dx'\, dy'$, con $\rho$ la densidad superficial. Para masa total $M$, área $A$ y densidad uniforme: $dm = \frac{M}{A}\, dx'\, dy'$. - **Eslabón aproximadamente lineal (1D):** si el eslabón es mucho más largo que ancho y grueso, se supone que la masa está distribuida sólo a lo largo de su eje (por ejemplo, $x'$) y se ignora la otra dimensión: $dm = \rho(x')\, dx'$. Para masa $M$, longitud $L$ y densidad uniforme: $dm = \frac{M}{L}\, dx'$. ## Herramientas ### Teorema de Steiner (de los ejes paralelos) :::{card} Teorema de Steiner Dado el momento $I_{z,G}$ respecto al centro de masas $G$, el momento respecto a un eje paralelo que pasa por otro punto $P$ es: $$ I_{z,P} = I_{z,G} + M d^2 $$ donde $M$ es la masa total y $d = |PG|$ la distancia entre los dos ejes. ::: Consecuencia: el momento de inercia es **mínimo** respecto a un eje que pase por $G$. El teorema sólo puede aplicarse partiendo de $G$ (o para volver a $G$); para pasar entre dos puntos $P$ y $Q$ cualesquiera, hay que pasar por $G$: $I_Q = I_P - M\,|PG|^2 + M\,|QG|^2$. ### Composición: suma y resta Siempre que todos los momentos de inercia se tomen respecto **al mismo eje y al mismo punto**, se pueden sumar los de las partes de un cuerpo compuesto: Suma de inercias $$ I_{z,P}^{\text{total}} = I_{z,P}^{A} + I_{z,P}^{B} $$ Y restar los de los huecos: Resta de inercias $$ I_{z,P}^{\text{total}} = I_{z,P}^{A} - I_{z,P}^{B} - I_{z,P}^{C} - I_{z,P}^{D} - I_{z,P}^{E} $$ ## Casos habituales ### Masa concentrada Un hilo o varilla de masa despreciable con una masa $M$ concentrada en su extremo, a distancia $d$ de $P$: Masa concentrada $$ I_{z,P} = M d^2 $$ (Se demuestra, por ejemplo, con una delta de Dirac como densidad.) Para pensar: ¿qué ocurre si se toman momentos respecto al mismo punto donde está la masa? ### Barra delgada Barra de longitud $L$ y masa $M$ uniforme, mucho más larga que gruesa, **respecto a su centro de masas**: Barra delgada $$ I_{z,G} = \frac{1}{12} M L^2 $$ :::{dropdown} Demostración Con el modelo 1D, $dm = \frac{M}{L}dx'$ e $y' \approx 0$: $$ I_{z,G} = \int_{-L/2}^{L/2} \left( x'^2 + \cancel{y'^2} \right) \frac{M}{L}\, dx' = \frac{M}{L} \left[ \frac{x'^3}{3} \right]_{-L/2}^{L/2} = \frac{M}{L}\, \frac{1}{3}\left( \frac{L^3}{8} + \frac{L^3}{8} \right) = \frac{1}{12} M L^2 $$ Respecto a un extremo, por Steiner con $d = L/2$: $I_{z,\text{extremo}} = \frac{1}{12}ML^2 + M\frac{L^2}{4} = \frac{1}{3}ML^2$. ::: ### Disco o cilindro macizo Disco de radio $R$ y masa $M$ uniforme, **respecto a su centro**: Disco $$ I_{z,G} = \frac{1}{2} M R^2 $$ :::{dropdown} Demostración Se divide el disco en anillos de radio $r$ y espesor $dr$, de área $2\pi r\,dr$, así que $dm = \frac{M}{\pi R^2}\, 2\pi r\, dr$. Todos los puntos del anillo están a distancia $r$ del eje: $$ I_{z,G} = \int_0^R r^2 \frac{2M}{R^2}\, r\, dr = \frac{2M}{R^2}\, \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2} M R^2 $$ ::: ### Tabla resumen | Eslabón | $I_{z,G}$ | |---|---| | Masa puntual a distancia $d$ (respecto al eje) | $M d^2$ | | Barra delgada de longitud $L$ | $\frac{1}{12} M L^2$ | | Barra delgada, respecto a un extremo | $\frac{1}{3} M L^2$ | | Placa rectangular $a \times b$ | $\frac{1}{12} M \left(a^2 + b^2\right)$ | | Disco o cilindro macizo de radio $R$ | $\frac{1}{2} M R^2$ | | Anillo o tubo delgado de radio $R$ | $M R^2$ | | Cilindro hueco de radios $R_1$ y $R_2$ | $\frac{1}{2} M \left(R_1^2 + R_2^2\right)$ | | Esfera maciza (respecto a un diámetro) | $\frac{2}{5} M R^2$ | | Esfera hueca delgada (respecto a un diámetro) | $\frac{2}{3} M R^2$ | A veces se da el **radio de giro** $k$, definido por $I_{z,G} = M k^2$: es la distancia a la que habría que concentrar toda la masa para tener la misma inercia. ## Ejemplo: placa con un agujero Una placa de acero ($\rho = 7850$ kg/m³) de $a \times b = 300 \times 100$ mm y espesor $t = 10$ mm tiene un agujero de radio $r = 25$ mm, cuyo centro $G_B$ está a $d = 70$ mm del centro $G_A$ de la placa. Calcular el momento de inercia respecto a su centro de masas $G$. Placa con agujero :::{dropdown} Solución **Masas.** Placa completa y disco «hueco»: $$ m_A = \rho\, a\, b\, t = 7850 \cdot 0.3 \cdot 0.1 \cdot 0.01 = 2.355~\text{kg}, \qquad m_B = \rho\, \pi r^2 t = 0.1541~\text{kg} $$ La masa de la pieza es $m = m_A - m_B = 2.2009$ kg. **Inercias respecto a $G_A$.** Placa: $I^A_{G_A} = \frac{1}{12} m_A (a^2+b^2) = 0.019625$ kg·m². Disco: respecto a su centro, $\frac{1}{2} m_B r^2 = 4.82\cdot 10^{-5}$ kg·m², y por Steiner respecto a $G_A$: $$ I^B_{G_A} = 4.82\cdot 10^{-5} + m_B\, d^2 = 4.82\cdot 10^{-5} + 0.1541 \cdot 0.07^2 = 8.034\cdot 10^{-4}~\text{kg·m}^2 $$ Restando (las dos están referidas al mismo punto $G_A$): $I_{G_A} = 0.019625 - 0.000803 = 0.018822$ kg·m². **Centro de masas.** El agujero desplaza $G$ hacia el lado contrario, una distancia $e$ desde $G_A$: $$ e = \frac{m_B\, d}{m} = \frac{0.1541 \cdot 0.07}{2.2009} = 4.90~\text{mm} $$ **Inercia respecto a $G$.** Aplicando Steiner «al revés» (de $G_A$ a $G$): $$ I_G = I_{G_A} - m\, e^2 = 0.018822 - 2.2009 \cdot 0.0049^2 = 0.018769~\text{kg·m}^2 $$ La corrección por el desplazamiento de $G$ es pequeña (0.3 %), pero no siempre lo es. ::: Para piezas complejas, los programas de CAD dan directamente la masa, el centro de masas y el tensor de inercia a partir del modelo sólido.