# Ejemplo 2.15: Suspensión de bicicleta (método gráfico)
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El mecanismo de la foto (cotas en centímetros) muestra la suspensión trasera de una bicicleta (examen de enero de 2023). Es el mismo mecanismo resuelto analíticamente en el {doc}`L02_13_example9`. Se pide:
1. Determinar todos los centros instantáneos de rotación (CIRs) absolutos.
2. Hallar, por el método gráfico, la velocidad del punto $A$.
3. A partir del cinema de aceleraciones dado abajo, determinar las aceleraciones angulares de todos los sólidos.
::::{grid} 2
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:::{grid-item}
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::::
Datos: $\omega_4 = 1$ rad/s antihorario, $\alpha_4 = 2$ rad/s² horario. Si se necesita cualquier otra medida, se puede sacar utilizando las escalas gráficas.
:::{dropdown} Solución
**1. CIRs absolutos**
El mecanismo tiene $N = 6$ cuerpos: 1 cuadro (bancada), 2 balancín $DO_2A$, 3 basculante $ABC$, 4 bieleta $O_4B$, 5 cilindro y 6 vástago del amortiguador. Hay por tanto $6 \cdot 5 / 2 = 15$ CIRs, de los que se piden los absolutos, es decir, todos aquellos en que uno de los dos cuerpos es la tierra: $I_{12}$, $I_{13}$, $I_{14}$, $I_{15}$ e $I_{16}$.
Primero marcamos todos los CIRs que se pueden ver a simple vista: los pares de rotación entre parejas de cuerpos en contacto directo ($I_{12}$, $I_{23}$, $I_{34}$, $I_{14}$, $I_{15}$ e $I_{26}$), e $I_{56}$, que está en el infinito en la dirección perpendicular al eje del amortiguador, ya que el vástago desliza dentro del cilindro.
De los CIRs absolutos, solo quedan por determinar $I_{13}$ e $I_{16}$.
Para hallar $I_{13}$, aplicamos el teorema de Kennedy dos veces (ver explicación detallada en el {doc}`L02_18_example14`), usando los pares $I_{12}$-$I_{23}$ e $I_{14}$-$I_{34}$. Cada uno de dichos pares define una recta, y en su intersección estará el CIR buscado:
Finalmente, hallamos $I_{16}$ con los pares $I_{15}$-$I_{56}$ (la recta por $O_5$ perpendicular al eje del amortiguador) e $I_{12}$-$I_{26}$:
**2. Velocidad de A**
Aunque se emplee el método gráfico, se deben plantear primero las ecuaciones que determinan las velocidades, buscando un lazo que pase por todos los cuerpos de la cadena cinemática a analizar. En este caso, el lazo es $O_4$-$B$-$A$-$O_2$, que da lugar a las siguientes ecuaciones de velocidades relativas:
$$
\begin{aligned}
\vec{v}_B &= \cancel{\vec{v}_{O_4}} + \omega_4\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4B} && \text{(Cuerpo 4)} \\
\vec{v}_A &= \vec{v}_B + \omega_3\,\hat{k} \times \vec{r}_{BA} && \text{(Cuerpo 3)} \\
\vec{v}_A &= \cancel{\vec{v}_{O_2}} + \omega_2\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_2A} && \text{(Cuerpo 2)}
\end{aligned}
$$
En el método gráfico conviene dejarlo todo como una única ecuación vectorial: sustituimos $\vec{v}_B$ de la primera ecuación en la segunda, e igualamos los lados derechos de la segunda y la tercera, ya que ambos son $\vec{v}_A$:
$$
\underbrace{\omega_2\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_2A}}_{\perp\, O_2A}
=
\underbrace{\omega_4\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4B}}_{\text{conocido}}
+
\underbrace{\omega_3\,\hat{k} \times \vec{r}_{BA}}_{\perp\, AB}
$$
donde ya se ha indicado qué término es perfectamente conocido (en módulo y dirección), y cuáles solo en dirección (perpendiculares a sus eslabones) pero desconocidos en módulo.
De los datos, $|\omega_4|\,\overline{O_4B} = 1~\text{rad/s} \cdot \sqrt{22.25^2 + 2.3^2}~\text{cm} = 22.35$ cm/s.
Construyendo esta ecuación a escala se obtiene el siguiente cinema de velocidades:
del que medimos:
* $|\vec{v}_{AO_2}| = |\vec{v}_A| = 13.92$ cm/s, que es el valor pedido.
* $|\vec{v}_{BA}| = 12.45$ cm/s, de donde $|\omega_3| = |\vec{v}_{BA}| / \overline{BA} = 12.45 / 26.91 = 0.46$ rad/s, en sentido antihorario.
**3. Aceleraciones angulares**
Al igual que con las velocidades, conviene escribir explícitamente las ecuaciones para identificar cada vector del cinema:
$$
\begin{aligned}
\vec{a}_B &= \cancel{\vec{a}_{O_4}} + \alpha_4\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4B} - \omega_4^2\,\vec{r}_{O_4B} && \text{(Cuerpo 4)} \\
\vec{a}_A &= \vec{a}_B + \alpha_3\,\hat{k} \times \vec{r}_{BA} - \omega_3^2\,\vec{r}_{BA} && \text{(Cuerpo 3)} \\
\vec{a}_A &= \cancel{\vec{a}_{O_2}} + \alpha_2\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_2A} - \omega_2^2\,\vec{r}_{O_2A} && \text{(Cuerpo 2)}
\end{aligned}
$$
que, unificadas en una sola ecuación:
$$
\underbrace{\alpha_2\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_2A}}_{\vec{a}^t_A}
\underbrace{- \,\omega_2^2\,\vec{r}_{O_2A}}_{\vec{a}^n_A}
=
\underbrace{\alpha_4\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4B}}_{\vec{a}^t_B}
\underbrace{- \,\omega_4^2\,\vec{r}_{O_4B}}_{\vec{a}^n_B}
+
\underbrace{\alpha_3\,\hat{k} \times \vec{r}_{BA}}_{\vec{a}^t_{BA}}
\underbrace{- \,\omega_3^2\,\vec{r}_{BA}}_{\vec{a}^n_{BA}}
$$
permiten identificar cada vector del cinema dado por su dirección (paralela o perpendicular a cada eslabón). Las componentes normales se conocen de las velocidades angulares, y $\vec{a}^t_B$ del dato $\alpha_4$; la construcción paso a paso de más abajo muestra cómo se dibuja el cinema.
Midiendo sobre el cinema:
* $|\vec{a}^t_{BA}| \approx 8.1$ cm/s², de donde $|\alpha_3| = |\vec{a}^t_{BA}| / \overline{BA} \approx 8.1 / 26.91 \approx 0.3$ rad/s², en sentido horario.
* $|\vec{a}^t_A| \approx 29.15$ cm/s², de donde $|\alpha_2| = |\vec{a}^t_A| / \overline{O_2A} \approx 29.15 / 6.04 \approx 4.82$ rad/s², en sentido horario.
Estos valores coinciden con la solución analítica del {doc}`L02_13_example9`: $\alpha_3 = -0.3016$ rad/s² y $\alpha_2 = -4.803$ rad/s².
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## Construcciones paso a paso
**CIRs absolutos**, y comprobación de $\vec{v}_A$ con $I_{13}$:
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**Cinema de velocidades** (apartado 2):
```{raw} html
```
**Cinema de aceleraciones** (apartado 3):
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```
Datos: $\omega_4 = 1$ rad/s antihorario, $\alpha_4 = 2$ rad/s² horario. Si se necesita cualquier otra medida, se puede sacar utilizando las escalas gráficas.
:::{dropdown} Solución
**1. CIRs absolutos**
El mecanismo tiene $N = 6$ cuerpos: 1 cuadro (bancada), 2 balancín $DO_2A$, 3 basculante $ABC$, 4 bieleta $O_4B$, 5 cilindro y 6 vástago del amortiguador. Hay por tanto $6 \cdot 5 / 2 = 15$ CIRs, de los que se piden los absolutos, es decir, todos aquellos en que uno de los dos cuerpos es la tierra: $I_{12}$, $I_{13}$, $I_{14}$, $I_{15}$ e $I_{16}$.
Primero marcamos todos los CIRs que se pueden ver a simple vista: los pares de rotación entre parejas de cuerpos en contacto directo ($I_{12}$, $I_{23}$, $I_{34}$, $I_{14}$, $I_{15}$ e $I_{26}$), e $I_{56}$, que está en el infinito en la dirección perpendicular al eje del amortiguador, ya que el vástago desliza dentro del cilindro.
De los CIRs absolutos, solo quedan por determinar $I_{13}$ e $I_{16}$.
Para hallar $I_{13}$, aplicamos el teorema de Kennedy dos veces (ver explicación detallada en el {doc}`L02_18_example14`), usando los pares $I_{12}$-$I_{23}$ e $I_{14}$-$I_{34}$. Cada uno de dichos pares define una recta, y en su intersección estará el CIR buscado:
Finalmente, hallamos $I_{16}$ con los pares $I_{15}$-$I_{56}$ (la recta por $O_5$ perpendicular al eje del amortiguador) e $I_{12}$-$I_{26}$:
**2. Velocidad de A**
Aunque se emplee el método gráfico, se deben plantear primero las ecuaciones que determinan las velocidades, buscando un lazo que pase por todos los cuerpos de la cadena cinemática a analizar. En este caso, el lazo es $O_4$-$B$-$A$-$O_2$, que da lugar a las siguientes ecuaciones de velocidades relativas:
$$
\begin{aligned}
\vec{v}_B &= \cancel{\vec{v}_{O_4}} + \omega_4\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4B} && \text{(Cuerpo 4)} \\
\vec{v}_A &= \vec{v}_B + \omega_3\,\hat{k} \times \vec{r}_{BA} && \text{(Cuerpo 3)} \\
\vec{v}_A &= \cancel{\vec{v}_{O_2}} + \omega_2\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_2A} && \text{(Cuerpo 2)}
\end{aligned}
$$
En el método gráfico conviene dejarlo todo como una única ecuación vectorial: sustituimos $\vec{v}_B$ de la primera ecuación en la segunda, e igualamos los lados derechos de la segunda y la tercera, ya que ambos son $\vec{v}_A$:
$$
\underbrace{\omega_2\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_2A}}_{\perp\, O_2A}
=
\underbrace{\omega_4\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4B}}_{\text{conocido}}
+
\underbrace{\omega_3\,\hat{k} \times \vec{r}_{BA}}_{\perp\, AB}
$$
donde ya se ha indicado qué término es perfectamente conocido (en módulo y dirección), y cuáles solo en dirección (perpendiculares a sus eslabones) pero desconocidos en módulo.
De los datos, $|\omega_4|\,\overline{O_4B} = 1~\text{rad/s} \cdot \sqrt{22.25^2 + 2.3^2}~\text{cm} = 22.35$ cm/s.
Construyendo esta ecuación a escala se obtiene el siguiente cinema de velocidades:
del que medimos:
* $|\vec{v}_{AO_2}| = |\vec{v}_A| = 13.92$ cm/s, que es el valor pedido.
* $|\vec{v}_{BA}| = 12.45$ cm/s, de donde $|\omega_3| = |\vec{v}_{BA}| / \overline{BA} = 12.45 / 26.91 = 0.46$ rad/s, en sentido antihorario.
**3. Aceleraciones angulares**
Al igual que con las velocidades, conviene escribir explícitamente las ecuaciones para identificar cada vector del cinema:
$$
\begin{aligned}
\vec{a}_B &= \cancel{\vec{a}_{O_4}} + \alpha_4\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4B} - \omega_4^2\,\vec{r}_{O_4B} && \text{(Cuerpo 4)} \\
\vec{a}_A &= \vec{a}_B + \alpha_3\,\hat{k} \times \vec{r}_{BA} - \omega_3^2\,\vec{r}_{BA} && \text{(Cuerpo 3)} \\
\vec{a}_A &= \cancel{\vec{a}_{O_2}} + \alpha_2\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_2A} - \omega_2^2\,\vec{r}_{O_2A} && \text{(Cuerpo 2)}
\end{aligned}
$$
que, unificadas en una sola ecuación:
$$
\underbrace{\alpha_2\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_2A}}_{\vec{a}^t_A}
\underbrace{- \,\omega_2^2\,\vec{r}_{O_2A}}_{\vec{a}^n_A}
=
\underbrace{\alpha_4\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4B}}_{\vec{a}^t_B}
\underbrace{- \,\omega_4^2\,\vec{r}_{O_4B}}_{\vec{a}^n_B}
+
\underbrace{\alpha_3\,\hat{k} \times \vec{r}_{BA}}_{\vec{a}^t_{BA}}
\underbrace{- \,\omega_3^2\,\vec{r}_{BA}}_{\vec{a}^n_{BA}}
$$
permiten identificar cada vector del cinema dado por su dirección (paralela o perpendicular a cada eslabón). Las componentes normales se conocen de las velocidades angulares, y $\vec{a}^t_B$ del dato $\alpha_4$; la construcción paso a paso de más abajo muestra cómo se dibuja el cinema.
Midiendo sobre el cinema:
* $|\vec{a}^t_{BA}| \approx 8.1$ cm/s², de donde $|\alpha_3| = |\vec{a}^t_{BA}| / \overline{BA} \approx 8.1 / 26.91 \approx 0.3$ rad/s², en sentido horario.
* $|\vec{a}^t_A| \approx 29.15$ cm/s², de donde $|\alpha_2| = |\vec{a}^t_A| / \overline{O_2A} \approx 29.15 / 6.04 \approx 4.82$ rad/s², en sentido horario.
Estos valores coinciden con la solución analítica del {doc}`L02_13_example9`: $\alpha_3 = -0.3016$ rad/s² y $\alpha_2 = -4.803$ rad/s².
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## Construcciones paso a paso
**CIRs absolutos**, y comprobación de $\vec{v}_A$ con $I_{13}$:
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**Cinema de velocidades** (apartado 2):
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```
**Cinema de aceleraciones** (apartado 3):
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