# Ejemplo 2.14: Centros instantáneos de un cuadrilátero articulado
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```
Para el siguiente mecanismo (examen de febrero de 2016), se pide:
1. Determinar cuántos centros instantáneos de rotación (CIRs) existen, incluyendo relativos y absolutos.
2. Identificar la posición de todos los CIRs.
3. Empleando dichos CIRs, calcular la velocidad angular del eslabón 3 en función de la velocidad angular del eslabón 2 para la posición del mecanismo mostrada en la figura.
La barra $CO_4$ está empotrada en la pared, así que forma parte de la bancada (eslabón 1), y el eslabón 4 es la barra $BC$.
:::{dropdown} Solución
**1. ¿Cuántos CIRs existen?**
Existen tantos CIRs como posibles parejas de eslabones, incluyendo la bancada o tierra (eslabón 1). Se pueden contar con una tabla:
| | **2** | **3** | **4** |
|---|---|---|---|
| **1** | $I_{12}$ | $I_{13}$ | $I_{14}$ |
| **2** | | $I_{23}$ | $I_{24}$ |
| **3** | | | $I_{34}$ |
con lo que vemos que en este caso existen 6 CIRs, como da la fórmula general para $N = 4$ eslabones:
$$
n_{CIR} = \frac{N (N-1)}{2} = 6
$$
Se recomienda escribir la tabla en cualquier caso, para ir tachando en ella los CIRs identificados durante su cálculo.
**2. ¿Dónde están todos los CIRs?**
Comenzamos identificando los CIRs inmediatos, situados en los pares de rotación entre eslabones: $I_{12}$ (en $O_2$), $I_{23}$ (en $A$), $I_{34}$ (en $B$) e $I_{14}$ (en $C$).
Los dos CIRs que faltan se calculan con el teorema de Kennedy: los tres CIRs de tres cuerpos cualesquiera están en una línea recta. Aplicándolo dos veces para cada CIR buscado se obtienen dos rectas, en cuya intersección estará necesariamente el CIR.
Para $I_{13}$, el polígono auxiliar (un vértice por eslabón, un lado por cada CIR conocido) muestra los dos caminos que unen 1 y 3 a través de CIRs conocidos, $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ y $1 \rightarrow 4 \rightarrow 3$. Así, $I_{13}$ está en la intersección de:
* la recta que pasa por $I_{12}$ y por $I_{23}$ (a $45^\circ$), y
* la recta que pasa por $I_{14}$ y por $I_{34}$ (vertical, en $x = 750$ mm).
Es decir, en $(750, 750)$ mm desde $O_2$, en la parte superior del mecanismo.
Para $I_{24}$, los caminos son $2 \rightarrow 3 \rightarrow 4$ y $2 \rightarrow 1 \rightarrow 4$, así que está en la intersección de:
* la recta que pasa por $I_{23}$ y por $I_{34}$, y
* la recta que pasa por $I_{12}$ y por $I_{14}$.
Ambas rectas son paralelas (horizontales), lo que indica que $I_{24}$ es un punto en el infinito, en dirección horizontal. En estos casos, lo relevante no es que la recta del CIR pase por un punto concreto sino su dirección, así que se puede dibujar donde resulte más conveniente.
Como $I_{24}$ está en el infinito, los eslabones 2 y 4 tienen la misma velocidad angular en este instante ($\omega_4 = \omega_2$), como en un paralelogramo.
**3. $\omega_3$ en función de $\omega_2$**
El CIR relativo $I_{23}$ es un punto de ambos eslabones: como punto del eslabón 2 gira alrededor de $I_{12}$ con $\omega_2$, y como punto del eslabón 3 gira alrededor de $I_{13}$ con $\omega_3$. Usando solo módulos:
$$
|\vec{v}_{I_{23}}| = |\omega_2|\,\overline{I_{12}I_{23}} = |\omega_3|\,\overline{I_{13}I_{23}}
\qquad\rightarrow\qquad
|\omega_3| = |\omega_2|\,\frac{\overline{I_{12}I_{23}}}{\overline{I_{13}I_{23}}}
$$
De la figura, $\overline{I_{12}I_{23}} = 400\sqrt{2}$ mm y $\overline{I_{13}I_{23}} = 350\sqrt{2}$ mm.
Como el CIR relativo $I_{23}$ cae **entre** los dos CIRs absolutos $I_{12}$ e $I_{13}$, los dos eslabones giran en sentidos opuestos: si uno gira en sentido horario, el otro lo hará en sentido antihorario. Añadiendo este signo:
$$
\omega_3 = -\omega_2\,\frac{400\sqrt{2}}{350\sqrt{2}} = -\frac{8}{7}\,\omega_2
$$
:::
## Construcción paso a paso
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La barra $CO_4$ está empotrada en la pared, así que forma parte de la bancada (eslabón 1), y el eslabón 4 es la barra $BC$.
:::{dropdown} Solución
**1. ¿Cuántos CIRs existen?**
Existen tantos CIRs como posibles parejas de eslabones, incluyendo la bancada o tierra (eslabón 1). Se pueden contar con una tabla:
| | **2** | **3** | **4** |
|---|---|---|---|
| **1** | $I_{12}$ | $I_{13}$ | $I_{14}$ |
| **2** | | $I_{23}$ | $I_{24}$ |
| **3** | | | $I_{34}$ |
con lo que vemos que en este caso existen 6 CIRs, como da la fórmula general para $N = 4$ eslabones:
$$
n_{CIR} = \frac{N (N-1)}{2} = 6
$$
Se recomienda escribir la tabla en cualquier caso, para ir tachando en ella los CIRs identificados durante su cálculo.
**2. ¿Dónde están todos los CIRs?**
Comenzamos identificando los CIRs inmediatos, situados en los pares de rotación entre eslabones: $I_{12}$ (en $O_2$), $I_{23}$ (en $A$), $I_{34}$ (en $B$) e $I_{14}$ (en $C$).
Los dos CIRs que faltan se calculan con el teorema de Kennedy: los tres CIRs de tres cuerpos cualesquiera están en una línea recta. Aplicándolo dos veces para cada CIR buscado se obtienen dos rectas, en cuya intersección estará necesariamente el CIR.
Para $I_{13}$, el polígono auxiliar (un vértice por eslabón, un lado por cada CIR conocido) muestra los dos caminos que unen 1 y 3 a través de CIRs conocidos, $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3$ y $1 \rightarrow 4 \rightarrow 3$. Así, $I_{13}$ está en la intersección de:
* la recta que pasa por $I_{12}$ y por $I_{23}$ (a $45^\circ$), y
* la recta que pasa por $I_{14}$ y por $I_{34}$ (vertical, en $x = 750$ mm).
Es decir, en $(750, 750)$ mm desde $O_2$, en la parte superior del mecanismo.
Para $I_{24}$, los caminos son $2 \rightarrow 3 \rightarrow 4$ y $2 \rightarrow 1 \rightarrow 4$, así que está en la intersección de:
* la recta que pasa por $I_{23}$ y por $I_{34}$, y
* la recta que pasa por $I_{12}$ y por $I_{14}$.
Ambas rectas son paralelas (horizontales), lo que indica que $I_{24}$ es un punto en el infinito, en dirección horizontal. En estos casos, lo relevante no es que la recta del CIR pase por un punto concreto sino su dirección, así que se puede dibujar donde resulte más conveniente.
Como $I_{24}$ está en el infinito, los eslabones 2 y 4 tienen la misma velocidad angular en este instante ($\omega_4 = \omega_2$), como en un paralelogramo.
**3. $\omega_3$ en función de $\omega_2$**
El CIR relativo $I_{23}$ es un punto de ambos eslabones: como punto del eslabón 2 gira alrededor de $I_{12}$ con $\omega_2$, y como punto del eslabón 3 gira alrededor de $I_{13}$ con $\omega_3$. Usando solo módulos:
$$
|\vec{v}_{I_{23}}| = |\omega_2|\,\overline{I_{12}I_{23}} = |\omega_3|\,\overline{I_{13}I_{23}}
\qquad\rightarrow\qquad
|\omega_3| = |\omega_2|\,\frac{\overline{I_{12}I_{23}}}{\overline{I_{13}I_{23}}}
$$
De la figura, $\overline{I_{12}I_{23}} = 400\sqrt{2}$ mm y $\overline{I_{13}I_{23}} = 350\sqrt{2}$ mm.
Como el CIR relativo $I_{23}$ cae **entre** los dos CIRs absolutos $I_{12}$ e $I_{13}$, los dos eslabones giran en sentidos opuestos: si uno gira en sentido horario, el otro lo hará en sentido antihorario. Añadiendo este signo:
$$
\omega_3 = -\omega_2\,\frac{400\sqrt{2}}{350\sqrt{2}} = -\frac{8}{7}\,\omega_2
$$
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## Construcción paso a paso
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