## Ejemplo 2.13: Caballito de tiovivo (movimiento relativo en 3D) El siguiente mecanismo corresponde a un caballito de feria (examen de febrero de 2010), en el que el movimiento de vaivén se produce por el giro del eslabón $AB$ a una velocidad angular $\omega_0$ en sentido horario ($\vec{\omega}_0 = -\omega_0\,\hat{i}$, con el eje $x$ saliendo del papel), mientras el punto $C$ se desliza sobre una ranura vertical. Caballito de tiovivo Sabiendo que en el instante inicial el ángulo en $A$ es recto ($\phi=\frac{\pi}{2}$), que $\theta=\frac{\pi}{3}$, y que el punto $D$ está situado en la barra $AC$ (de longitud $|AC|=R$) a una distancia $\frac{1}{3}R$ desde $A$, calcular: 1. La velocidad angular $\omega_{AC}$ de la barra $AC$. 2. La velocidad del caballito (punto $D$). 3. La aceleración del mismo punto, sabiendo que $\vec{a}_A = \omega_0^2 \frac{R}{8} (-\sqrt{3}\,\hat{j} + \hat{k})$ y que el movimiento de la barra $AC$ puede considerarse uniforme. Además del movimiento de vaivén del caballito, se considera ahora la rotación uniforme $\Omega$, en sentido antihorario, de la plataforma del tiovivo alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Considerando que el caballito está situado a una distancia de 2 metros del eje de giro (quedando este a su izquierda), calcular: 4. La velocidad absoluta del caballito. 5. La aceleración absoluta del caballito. :::{dropdown} Solución **1. Velocidad angular $\omega_{AC}$ de la barra $AC$** Debido a la restricción en el punto $C$, para cada posición de la barra $AB$ la barra $AC$ se ve forzada a una única posición compatible. Por tanto, una velocidad angular $\omega_0$ en $AB$ induce otra en $AC$, de sentido contrario: Velocidades angulares Para obtener $\omega_{AC}$ buscamos su relación con la velocidad del punto $C$, $\vec{v}_C$, e imponemos que su componente horizontal debe ser nula (por la deslizadera). El punto $C$ pertenece a un sólido (la barra $AC$) que gira con velocidad angular $\omega_{AC}$ y del que conocemos la velocidad de otro punto ($A$), luego: $$ \vec{v}_C = \vec{v}_A + \vec{\omega}_{AC} \times \vec{r}_{AC} $$ La velocidad de $A$ es la derivada de su vector de posición $\vec{r}_{BA}$ (de módulo $\sqrt{3}R$), que es un vector de módulo constante que gira con velocidad angular $\vec{\omega}_0$: $$ \begin{aligned} \vec{v}_A &= \frac{d\vec{r}_{BA}}{dt} = \vec{\omega}_0 \times \vec{r}_{BA} = (-\omega_0\,\hat{i}) \times \left(\sqrt{3}R \cos 60^\circ\,\hat{j} - \sqrt{3}R \sin 60^\circ\,\hat{k}\right) \\ &= (-\omega_0\,\hat{i}) \times R \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,\hat{j} - \tfrac{3}{2}\,\hat{k}\right) = \omega_0 \tfrac{\sqrt{3}R}{2} \left(-\sqrt{3}\,\hat{j} - \hat{k}\right) \end{aligned} $$ Además, por la geometría del problema: Geometría sabemos que, en el instante de interés: $$ \vec{r}_{AC} = R \left(-\sin 60^\circ\,\hat{j} - \cos 60^\circ\,\hat{k}\right) = -\tfrac{R}{2} \left(\sqrt{3}\,\hat{j} + \hat{k}\right) $$ Como $\vec{\omega}_{AC} = \omega_{AC}\,\hat{i}$, sustituyendo: $$ \begin{aligned} \vec{v}_C &= -\omega_0 \tfrac{\sqrt{3}R}{2} (\sqrt{3}\,\hat{j} + \hat{k}) + (\omega_{AC}\,\hat{i}) \times \left[-\tfrac{R}{2} (\sqrt{3}\,\hat{j} + \hat{k})\right] \\ &= -\omega_0 \tfrac{\sqrt{3}R}{2} (\sqrt{3}\,\hat{j} + \hat{k}) - \omega_{AC} \tfrac{R}{2} (\sqrt{3}\,\hat{k} - \hat{j}) \\ &= \left(-\tfrac{3R}{2}\omega_0 + \tfrac{R}{2}\omega_{AC}\right)\hat{j} + \left(-\tfrac{\sqrt{3}R}{2}\omega_0 - \tfrac{\sqrt{3}R}{2}\omega_{AC}\right)\hat{k} \end{aligned} $$ Aplicamos ahora la restricción del punto $C$, que solo puede moverse verticalmente: $\vec{v}_C = v_C\,\hat{k}$. Igualando componente a componente llegamos a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($v_C$ y $\omega_{AC}$): $$ \left\{ \begin{aligned} 0 &= -\tfrac{3R}{2}\omega_0 + \tfrac{R}{2}\omega_{AC} \\ v_C &= -\tfrac{\sqrt{3}R}{2}\omega_0 - \tfrac{\sqrt{3}R}{2}\omega_{AC} \end{aligned} \right. \quad\rightarrow\quad \omega_{AC} = 3\,\omega_0, \qquad v_C = -2\sqrt{3}\,R\,\omega_0 $$ La velocidad de $C$ resulta negativa porque se tomó positiva en el sentido del eje $Z$: para $\omega_0 > 0$, el punto $C$ baja en el instante de interés. **2. Velocidad del punto $D$** Es una situación idéntica a la anterior: conocida la velocidad de un punto ($A$) de un sólido rígido (la barra $AC$) que gira con velocidad angular $\vec{\omega}_{AC}$, obtener la velocidad de otro punto del mismo sólido ($D$), con $\vec{r}_{AD} = \frac{1}{3}\vec{r}_{AC}$: $$ \begin{aligned} \vec{v}_D &= \vec{v}_A + \vec{\omega}_{AC} \times \vec{r}_{AD} = -\omega_0 \tfrac{\sqrt{3}R}{2} (\sqrt{3}\,\hat{j} + \hat{k}) + 3\omega_0\,\hat{i} \times \left(-\tfrac{R}{3}\sin 60^\circ\,\hat{j} - \tfrac{R}{3}\cos 60^\circ\,\hat{k}\right) \\ &= -\tfrac{3}{2}\omega_0 R\,\hat{j} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\omega_0 R\,\hat{k} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\omega_0 R\,\hat{k} + \tfrac{1}{2}\omega_0 R\,\hat{j} \\ &= \omega_0 R \left(-\hat{j} - \sqrt{3}\,\hat{k}\right) \end{aligned} $$ **3. Aceleración del punto $D$** Derivando la ecuación de velocidad anterior, y teniendo en cuenta que el movimiento de $AC$ es uniforme ($\dot{\vec{\omega}}_{AC} = 0$) y que $\vec{\omega}_{AC} \perp \vec{r}_{AD}$: $$ \begin{aligned} \vec{a}_D &= \vec{a}_A + \dot{\vec{\omega}}_{AC} \times \vec{r}_{AD} + \vec{\omega}_{AC} \times (\vec{\omega}_{AC} \times \vec{r}_{AD}) = \vec{a}_A - \omega_{AC}^2\,\vec{r}_{AD} \\ &= \omega_0^2 \tfrac{R}{8} (-\sqrt{3}\,\hat{j} + \hat{k}) + 9\omega_0^2 \tfrac{R}{6} (\sqrt{3}\,\hat{j} + \hat{k}) \\ &= \omega_0^2 R \left(\tfrac{11\sqrt{3}}{8}\,\hat{j} + \tfrac{13}{8}\,\hat{k}\right) \end{aligned} $$ **4. Velocidad absoluta de $D$, incluyendo el giro $\Omega$** Ahora $\vec{v}_D$ es una velocidad relativa respecto a la plataforma del tiovivo, que gira con $\vec{\Omega} = \Omega\,\hat{k}$. Siendo $\vec{r} = 2\,\hat{j}$ el vector desde el eje de giro hasta $D$ (en metros), el término de arrastre es $\vec{\Omega} \times \vec{r}$, y el origen del sistema móvil (sobre el eje de giro) está fijo: $$ (\vec{v}_D)_{abs} = \vec{v}_D + \vec{\Omega} \times \vec{r} = \vec{v}_D + \Omega\,\hat{k} \times 2\,\hat{j} = -2\Omega\,\hat{i} - \omega_0 R\,\hat{j} - \sqrt{3}\,\omega_0 R\,\hat{k} $$ Solo importa la distancia al eje de giro, y no la posición exacta del punto de referencia tomado en dicho eje: la componente vertical del vector de posición relativa es paralela a $\vec{\Omega}$ y no contribuye al producto vectorial. **5. Aceleración absoluta de $D$** Basta reemplazar, en la fórmula de aceleración de un punto móvil en un sistema de referencia móvil, la velocidad y la aceleración de $D$ relativas al tiovivo obtenidas en los apartados 2 y 3 (con $\dot{\vec{\Omega}} = 0$): $$ \begin{aligned} (\vec{a}_D)_{abs} &= \vec{a}_D + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{r} + \vec{\Omega} \times (\vec{\Omega} \times \vec{r}) + \underbrace{2\,\vec{\Omega} \times \vec{v}_D}_{\text{Coriolis}} \\ &= \vec{a}_D + \Omega\,\hat{k} \times (\Omega\,\hat{k} \times 2\,\hat{j}) + 2\,\Omega\,\hat{k} \times \omega_0 R (-\hat{j} - \sqrt{3}\,\hat{k}) \\ &= \omega_0^2 R \left(\tfrac{11\sqrt{3}}{8}\,\hat{j} + \tfrac{13}{8}\,\hat{k}\right) - 2\Omega^2\,\hat{j} + 2\,\Omega\,\omega_0 R\,\hat{i} \\ &= 2\,\Omega\,\omega_0 R\,\hat{i} + \left(\tfrac{11\sqrt{3}}{8}\omega_0^2 R - 2\Omega^2\right)\hat{j} + \tfrac{13}{8}\omega_0^2 R\,\hat{k} \end{aligned} $$ **Solución con MATLAB.** El siguiente script obtiene todos los resultados de forma simbólica, con la Symbolic Math Toolbox ({download}`descargar <../TMM-sphinx-EN/_static/scripts/caballito_tiovivo.m>`): ```matlab % Ejemplo 2.13: caballito de tiovivo (movimiento relativo en 3D). % Ejes: X sale del papel, Y horizontal (hacia la derecha), Z vertical (hacia arriba). % Requiere la Symbolic Math Toolbox. clc, clear all; syms w0 R Omega real syms wAC vC real % incógnitas th = sym(pi)/3; % 1. Velocidad angular de la barra AC wAB = [-w0 0 0]; % barra AB, sentido horario rBA = sqrt(sym(3))*R*[0 cos(th) -sin(th)]; vA = simplify(cross(wAB, rBA)) rAC = R*[0 -sin(th) -cos(th)]; WAC = [wAC 0 0]; velC = vA + cross(WAC, rAC); % C solo puede moverse verticalmente por la ranura: velC = [0 0 vC] sol = solve(velC(2) == 0, velC(3) == vC, [wAC, vC]); wAC = simplify(sol.wAC) vC = simplify(sol.vC) WAC = [wAC 0 0]; % 2. Velocidad del caballito (punto D, a R/3 de A) rAD = rAC/3; vD = simplify(vA + cross(WAC, rAD)) % 3. Aceleración de D (movimiento uniforme de AC) aA = w0^2*R/8*[0 -sqrt(sym(3)) 1]; aD = simplify(aA + cross(WAC, cross(WAC, rAD))) % 4-5. La plataforma del tiovivo gira con Omega alrededor de un eje vertical, % a 2 m a la izquierda del caballito: Om = [0 0 Omega]; r = [0 2 0]; vD_abs = simplify(vD + cross(Om, r)) aD_abs = simplify(aD + cross(Om, cross(Om, r)) + 2*cross(Om, vD)) ``` :::